1. Home
  2. Physik
  3. Aufgaben
  4. Produkt von zwei Levi-Civita-Symbolen mit gleichen Indizes

Aufgaben: Produkt von zwei Levi-Civita-Symbolen mit gleichen Indizes

Das solltest Du drauf haben...

Aufgabenstellung

Das Produkt zweier Epsilon-Tensoren lässt sich als Determinante einer 3x3-Matrix berechnen, in der Kronecker-Delta's mit verschieden Indizes stehen. Im Fall von einem gleichen Index vereinfacht sich diese auf eine 2x2-Matrix: εkijεkmn = \( {\begin{vmatrix}\delta_{im}&\delta_{in} \\ \delta_{jm}&\delta_{jn} \end{vmatrix}} \)

Schau Dir die folgenden drei Fälle an:

  1. Für nur einen gleichen Index: Berechne die Determinante der obigen 2x2-Matrix.
  2. Setze dann i=m und rechne es nochmal aus. Du kannst das Ergebnis aus a) benutzen.
  3. Danach setze die Indizes j=n gleich. Was kommt in diesen drei Fällen heraus?
Lösungstipps

Nutze bei (b) das Ergebnis von (a). Und nutze bei (c) das Ergebnis von (b). Klar?

Lösungen zur Aufgabe

Lösung zu (a)

Zur Berechnung der Determinante wurde Laplace-Entwicklungssatz verwendet. Entwickle beispielsweise nach der 1. Zeile. Das ergibt dann: δimδjn - δjmδin

Du hast eine wichtige Identität hergeleitet: δimδjn - δjmδin = εkijεkmn

Dabei ist εkijεkmn das Produkt zweier Epsilon-Tensoren und die obige Identität ergibt sich genau dann, wenn die beiden Epsilon-Tensoren einen gemeinsamen Index aufweisen. Mit dem Wissen kannst Du z.B. doppeltes Kreuzprodukt \( \vec{a}\times \left( \vec{b}\times\vec{c} \right) \) schön verarzten!

Lösung zu (b)

Weisen Epsilons dagegen zwei gleiche Indizes auf, dann kannst Du in der obigen Identität z.B. i=m setzen und damit i durch m ersetzen: δmmδjn - δjmδmn = εkmjεkmn

Dabei ergibt δmm=3 und δjmδmn = δjn. Insgesamt hast Du also: δjn = εkmjεkmn

Lösung zu (c)

Und, wenn Indizes von Epsilons alle übereinstimmen (j=n): 2δnn = εkmnεkmn Das ergibt: 2·3 = 6 = εkmnεkmn

Suchst Du nach weiteren Inhalten?
Ergänzende Inhalte
Weltkarte
Gehe zu...
Suche
Community
ONLINE 1
Gäste online: 1
Denker online: 0
Welt betreten
Statistiken