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Aufgaben: Magnetische Flussdichte aus dem Vektorpotential berechnen

Das solltest Du drauf haben...

Aufgabenstellung

Berechne die magnetische Flussdichte \( \vec{B}\left(\vec{r}\right) \) aus dem Vektorpotential \( \vec{A}\left(\vec{r}\right) \), gegeben durch: \[ \vec{A}\left(\vec{r}\right) = \frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3} \]

Lösungstipps

Für magnetische Flussdichte gilt: \( \vec{B}\left(\vec{r}\right) \) = rot\( ~{\vec{A}\left(\vec{r}\right)} \)

Lösungen zur Aufgabe

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Die magnetische Flussdichte berechnest Du mit: \[ \vec{B}\left(\vec{r}\right)=\vec{\nabla}\times\vec{A}\left(\vec{r}\right) \]

Dazu eignet sich die Indexnotation. Schreibe deshalb den obigen Ausdruck um, d.h. das Kreuzprodukt mittels Epsilon-Tensor und Nabla mittels Differentialoperator: \( \vec{e} \)iεijkjr-3(\( \vec{m}\times\vec{r} \))k

Dabei ist r Betrag des Ortsvektors, also r-3 = (xsxs)-3/2. Wenn Du noch das zweite Kreuzprodukt in Indexnotation schreibst, dann bekommst Du: \( \vec{e} \)iεijkj(xsxs)-3/2εklmmlxm

Wende die Produktregel für Ableitungen an. Dabei kannst Du Epsilon-Tensoren und den Einheitsvektor ausklammern: \( \vec{e} \)iεijkεklm[mlxmj(xsxs)-3/2 + (xsxs)-3/2jmlxm]

ml ist aus Sicht der partiellen Integration nur eine Konstante und jxm ist nur dann nicht Null, wenn j = m ist; d.h. es lässt sich als Kronecker-Delta schreiben: jxm = δjm. Also steht dann: \( \vec{e} \)iεijkεklm[mlxmj(xsxs)-3/2 + (xsxs)-3/2mlδjm]

Multipliziere die Klammern aus und fasse nach den Kronecker-Rechenregeln z.B. εijkδjm = εimk zusammen. Aus der Übung "Produkt von zwei Levi-Civita-Symbolen mit gleichen Indizes" weißt Du: εimkεklm = 2δil.

Insgesamt steht dann Folgendes: \( \vec{e} \)iεijkεklmmlxmj(xsxs)-3/2 + \( \vec{e} \)i2δilml(xsxs)-3/2

Fasse dann δilml = mi zusammen und rechne die Ableitung j(xsxs)-3/2 = -3xj(xsxs)-5/2 aus. Wende anschließend die Identität εijkεklm = δilδjm - δjlδim an. Jetzt hast Du: -3\( \vec{e} \)i(δilδjm - δjlδim)mlxjxm(xsxs)-5/2 + 2\( \vec{e} \)imi(xsxs)-3/2

Multipliziere die Klammer aus und fasse Kronecker-Delta nach Deinem Wunsch zusammen: -3\( \vec{e} \)lmlxmxm(xsxs)-5/2 + 3\( \vec{e} \)mmjxjxm(xsxs)-5/2 + 2\( \vec{e} \)imi(xsxs)-3/2

An dieser Stelle kannst Du die Indizes wieder in Vektoren umwandeln. Mit \( \vec{e} \)imi = \( \vec{m} \) und xmxm = r2 hast Du: -3\( \vec{m} \)r2r-5 + 3\( \vec{r} \)(\( \vec{m}~\cdot~\vec{r} \))r-5 + 2\( \vec{m} \)r-3

Wegen r2r-5 = r-3, hebt sich der letzte Summand mit zwei der drei vorderen Terme weg. Was übrig bleibt, ist: \( \vec{B}\left(\vec{r}\right)=3\vec{r}\frac{\vec{m}\cdot\vec{r}}{r^{5}}-\frac{\vec{m}}{r^{3}}\)

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