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Aufgaben: Rotation der Rotation eines beliebigen Vektorfeldes

Vorkenntnisse für die Aufgabe

Aufgabenstellung

Schreibe die zweimalige Anwendung des Rotation-Operators auf ein beliebiges Vektorfeld \(\vec{F}\) rot(rot\( \vec{F} \)) um, in: grad(div\( \vec{F} \)) - (divgrad)\( \vec{F} \)

Lösungstipps

Schreibe zuerst die beiden Rotation-Operatoren in Indexnotation mit Epsilon-Tensor um. Wende dann die Idenität für Produkt von zwei Epsilon-Tensoren an.

Lösungen zur Aufgabe

Lösung anzeigen

Die Aufgabe lässt sich in Indexnotation super einfach lösen!

Schreibe dazu erstmal den äußeren Rotation-Operator mittels Epsilon-Tensor um: \( \vec{e} \)iεijkj(rot\( \vec{F} \))k Danach den zweiten Rotation-Operator umschreiben: \( \vec{e} \)iεijkjεkmnnFm

Jetzt wendest Du die Identität δinδjm-δjnδim = εijkεkmn auf das Produkt zweier Epsilon-Tensoren an: \( \vec{e} \)i(δinδjm-δjnδim)jnFm

Schreibe anschließend den Ausdruck in Indexnotation zurück in einen Ausdruck mit Nabla-Operatoren um: \( \vec{\nabla}\left( \vec{\nabla}\cdot\vec{F} \right) - \left( \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right)\vec{F} \)

Geschrieben mit div-, grad-Notation, ergibt sich das, was zu zeigen war: grad(div\( \vec{F} \)) - (divgrad)\( \vec{F} \)

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