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Aufgaben: Homogen geladene Kugel: Elektrisches Feld außerhalb & innerhalb

Vorkenntnisse für die Aufgabe

Aufgabenstellung

Homogen geladene Kugeln treten z.B. als kugelförmige Bandgeneratoren in der Technik auf oder als Aerosol-Teilchen in der Natur.

Eine massive Vollkugel ist gleichförmig geladen. Sie hat den Radius R und die Gesamtladung Q.

  1. Bestimme das E-Feld \( \vec{E} \) außerhalb der Kugel
  2. Bestimme das E-Feld \( \vec{E} \) innerhalb der Kugel
Lösungstipps

Benutze das Gausche Gesetz in Kombination mit der Maxwell-Gleichung aus der Elektrostatik für das elektrische Feld: \( \frac{Q_{eing}}{\epsilon_{0}} \) = \(\oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d}\vec{A} \)

Lösungen zur Aufgabe

Lösung zu (a)

Um das elektrische Feld außerhalb einer Vollkugel zu bestimmen, kannst Du am besten das Gaußsche Gesetz in Kugelkoordinanten ausnutzen. Für dieses Problem ist es perfekt geeignet, denn eine Vollkugel weist eine sphärische Symmetrie auf, weshalb Dir das Gauß-Gesetz die schnellste Lösung liefert.

Als erstes zeichne oder denke Dir ein gedachtes Gauß-Volumen, welches die geladene Vollkugel umschließt und denselben Mittelpunkt hat. Als Gauß-Volumen eignet sich in diesem Fall natürlich eine Gauß-Kugel mit dem Radius r. Bedenke, dass der Radius der Gauß-Kugel größer sein muss als der Radius der Vollkugel R, um das E-Feld außerhalb zu berechnen: r > R.

Benutze das Gausche Gesetz, in welches Du die elektrostatische Maxwell-Gleichung (Divergenz des E-Feldes) einsetzt. (Schau Dir die Anwendungen vom Gaußschen Satz an, wenn Du nicht weißt, wie man darauf kommt): \( \frac{Q_{eing}}{\epsilon_{0}} \) = \( \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d}\vec{A} \)

Die von der Gauß-Kugel eingeschlossene Ladungsmenge Qeing entspricht genau - laut der Aufgabe bekannten - Gesamtladung der Vollkugel Q: \( \frac{Q}{\epsilon_{0}} \) = \( \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d}\vec{A} \)

Die elektrische Feldstärke setzt sich - in Kugelkoordinanten - aus drei Anteilen zusammen: \(\vec{E}\) = \(\vec{E}(r) \, \vec{e}_r\) + \(\vec{E}(\phi) \, \vec{e}_\phi\) + \(\vec{E}(\theta) \, \vec{e}_\theta\)

Die Anteile in \(\vec{e}_\phi\) und \(\vec{e}_\theta\)-Richtung fallen jedoch weg, denn das E-Feld ist - in jedem Punkt - auf einer Kugeloberfläche (mit Radius r) gleich groß. Diese Anteile wären jedoch da, wenn die Vollkugel nicht homogen geladen wäre!

Die einzige eindeutige Richtung, in der sich das E-Feld ändert ist die \(\vec{e}_r\)-Richtung; also der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel. Und da die anderen Richtung-Anteile weggefallen sind, bleibt nur noch eine einzige Richtung für die Richtung des E-Felds übrig: Es steht überall senkrecht auf jeder Kugeloberfläche, d.h. \( \vec{E}\) = E(r)\( \vec{e}_r\)!

Das infinitesimale Flächenelement steht - per Definition - ebenfalls senkrecht auf geschlossenen Oberflächen \( d\vec{A} \) = dA\( \vec{e} \)r, weshalb die Richtung des elektrischen Feldes und die Richtung des Flächenelements beide in dieselbe Richtung zeigen. Somit vereinfacht sich das Skalarprodukt \( \vec{E}\cdot{d}\vec{A} \) zu einem einfachen Produkt von zwei Beträgen: E\( \vec{e}\)r · dA\( \vec{e} \)r = E(r)dA.

Da Du die infinitesimalen Stückchen dA über eine Oberfläche aufintegrierst, die im Abstand r vom Mittelpunkt sind, ist der Betrag des E-Feldes E(r) dort in jedem Punkt konstant. Er kann deshalb aus dem Integral herausgezogen werden: \( \frac{1}{\epsilon_{0}} \)Q = E(r)\( \oint_{\mathcal{A}}\)dA

Nun könntest Du das Oberflächenintegral in Kugelkoordinanten berechnen, was jedoch überflüssig wäre, wenn Du die Fläche einer Kugel mit Radius r als Formel kennst! Nämlich 4πr2. Damit hast Du: E(r)4πr2 = \( \frac{1}{\epsilon_{0}} \)Q

Umformen nach dem Betrag E(r) ergibt: E(r) = \( \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{r^2} \)

Das E-Feld zeigt radial nach außen. In Kugelkoordinanten also in Richtung \( \vec{e} \)r.

E-Feld außerhalb einer Vollkugel

die homogen geladen ist und und r > R:

\( \vec{E}(\vec{r}) \) = \( \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{r^2}\vec{e}_r \)

  • Q: Gesamtladung der Vollkugel in C
  • r: Abstand vom Kugelmittelpunkt außerhalb der Kugel, in m
  • ε0: Feldkonstante 8,854*10-12\(\frac{As}{Vm}\)
  • \( \vec{e}_r \): Einheitsvektor in radiale Richtung

Außerhalb der Kugel herrscht also das gleiche E-Feld wie das Feld einer Punktladung, die sich im Koordinanten-Mittelpunkt befindet.

Lösung zu (b)

Um das E-Feld im Inneren der geladenen Vollkugel zu berechnen, gehst Du analog wie bei Teilaufgabe (a) vor.

Betrachte wieder eine Gaußsche Kugeloberfläche mit Radius r. Sie muss sich jedoch innerhalb der Vollkugel befinden; sprich ihr Radius muss kleiner sein als der Radius der Vollkugel: r < R.

Benutze das Gaußsche Gesetz aus dem Hinweis: \( \frac{Q_{eing}}{\epsilon_{0}} \) = \(\oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d}\vec{A} \)

Mit der gleichen Argumentation wie bei (a): Das E-Feld \(\vec{E}\) zeigt in Richtung des \(d\vec{A}\)-Elements und es ist aufgrund der sphärischen Symmetrie nur von der radialen Richtung abhängig. Das Skalarprodukt wird zum einfachen Produkt der Beträge: E\( \vec{e}\)r · dA\( \vec{e} \)r = E(r)dA.

Integration über eine Gauß-Oberfläche im konstanten Abstand r impliziert, dass das E-Feld in diesem Abstand - an jedem Punkt der Kugeloberfläche - konstant ist und Du deshalb den Betrag von E vor das Integral ziehen darfst: \( \frac{Q_{eing}}{\epsilon_{0}} \) = E(r)\( \oint_{\mathcal{A}}\)dA

Die eingeschlossene Ladung Qeing, die von der Gauß-Kugel eingeschlossen wird ist in diesem Fall nicht bekannt und abhängig vom Radius der Gauß-Kugel. Sie lässt sich schreiben als Qeing = ρVeing. Dabei ist die Ladungsdichte ρ - laut der Aufgabe - überall in der Kugel konstant; und weil Du sie nicht kennst, musst Du sie als Gesamtladung Q pro Gesamtvolumen V der Vollkugel umschreiben: ρ = \(\frac{Q}{V}\) = \( \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi\,R^3} \)

Veing ist das von der Gauß-Kugel (mit Radius r) eingeschlossene Volumen: Veing = \( \frac{4}{3}\pi\,r^3 \)

Mit der umgeschriebenen Ladungsdichte und den beiden Volumina, kennst Du die eingeschlossene Ladungsmenge: Qeing = \( \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi\,R^3} \, \frac{4}{3}\pi\,r^3 \) = \( \frac{Q}{R^3} \, r^3 \)

Jetzt nur noch das Flächenintegral (Gauß-Oberfläche) verarzten. Mit dem Radius r beträgt die Kugeloberfläche 4πr2.

Setze die eingeschlossene Ladung und die Kugeloberfläche in das obige Gauß-Gesetz ein: \( \frac{Q}{\epsilon_0\,R^3} \, r^3 \) = \(E(r) \, 4\pi\,r^2 \)

Forme nach dem E-Feld-Betrag um und berücksichtige die Richtung des E-Feldes (es zeigt nämlich in radiale Richtung \( \vec{e} \)r).

E-Feld innerhalb einer Vollkugel

die homogen geladen ist und r < R:

\( \vec{E}(\vec{r}) \) = \( \frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}R^3}\,r\,\vec{e}_r \)

  • Q: Gesamtladung der Vollkugel in C
  • r: Abstand vom Mittelpunkt der Kugel innerhalb der Kugel, in m
  • R: Radius der Vollkugel in m
  • ε0: Feldkonstante 8,854*10-12\(\frac{As}{Vm}\)
  • \( \vec{e}_r \): Einheitsvektor in radiale Richtung

Wie Du an der Formel erkennen kannst, nimmt das E-Feld innerhalb der Kugel mit dem Abstand linear zu; was offensichtlich ist, denn eine Gauß-Kugel mit größer gewähltem Radius r schließt mehr Ladung ein, was zu einer größeren Feldstärke führt.

Im Fall r=R spucken beide Berechnungen des E-Feldes (innerhalb und außerhalb) das gleiche Ergebnis. Das E-Feld ist stetig.

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