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Aufgaben: Homogen geladene unendliche Ebene: Elektrisches Feld

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Aufgabenstellung

Eine unendlich ausgedehnte, unendlich dünne Ebene trägt eine homogene Flächenladungsdichte σ. Bestimme das elektrische Feld \( \vec{E} \) an jedem Ort im Raum.

Lösungstipps

Benutze die Maxwell-Gleichung \( \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{1}{\epsilon_{0}}\)ρ wobei ρ die (Raum)Ladungsdichte ist.

Nutze außerdem das Gaußsche Gesetz: \( \int_{\mathcal{V}}\left( \vec{\nabla}\cdot\vec{E} \right)dV = \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d\vec{A}} \) und die Achsensymmetrie des Zylinders aus.

Lösungen zur Aufgabe

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Zeichne oder stell Dir ein zur Symmetrie des Problems geeignetes Gauß-Volumen. In diesem Fall: Eine Gauß-Schachtel, die einen Teil der unendlich ausgedehnten Ebene umhüllt und zwar gleich oberhalb und unterhalb der Ebene. Das Gaußsche Gesetz lautet: \( \int_{\mathcal{V}}\left( \vec{\nabla}\cdot\vec{E} \right)dV = \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d\vec{A}} \) Zusammen mit der Maxwell-Gleichung \( \vec{\nabla}\cdot\vec{E} \) = ρε0 ergibt das: \( \int_{\mathcal{V}}\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho\left(\vec{r}\right)dV = \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d\vec{A}} \)

Die elektrische Feldkonstante kann aus dem Integral herausgezogen werden. Die Ladungsdichte integriert über ein Volumen \(\mathcal{V}\) ergibt die von diesem Volumen eingeschlossene Ladung QV: \( \frac{1}{\epsilon_{0}} \)QV = \( \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d\vec{A}} \)

Da es sich nur um eine Ebene mit der konstanten Flächenladungsdichte \(\sigma\) handelt, ist die eingeschlossene Ladung: QV=σA, wobei A die vom Volumen eingeschlossene Fläche der Ebene ist.

Da die Ebene in jedem ihrer Punkte symmetrisch und homogen ist, zeigt das elektrische Feld auf beiden Seiten aus der Ebene heraus.

Die Seitenflächen \(d\vec{A}\)S der Gaußschachtel liefern keinen Beitrag zum E-Feld, da elektrisches Feld und der Normalenvektor dieser Seitenflächen senkrecht aufeinander stehen: \( \vec{E}\cdot{d}\vec{A}_{S}= \left(E\vec{e}_{z}\right)\cdot\left(\vec{e}_{x}dA_{S}\right)\) = 0

Die einzigen Stücke der Gauß-Fläche, die die Beiträge zum E-Feld liefern, sind die beiden Deckelflächen. Also setzt sich das Flächenintegral aus: \( \frac{1}{\epsilon_{0}} \)σA = \( \int_{\mathcal{A}}\left(\vec{E}\vec{e}_{z}\right)\cdot\left(dA_{D}\vec{e}_{z}\right) + \int_{\mathcal{A}}\left(-\vec{E}\vec{e}_{z}\right)\cdot\left(-dA_{D}\vec{e}_{z}\right) \)

\(\vec{e}_{z}\cdot\vec{e}_{z} \) = 1 und die beiden Deckelflächen sind vom Betrag A und damit liefern die beiden obigen Flächenintegrale: \( \frac{1}{\epsilon_{0}} \)σA = EA + EA = 2EA

Forme nach E um und berücksichtige die Richtung von E.

E-Feld einer Ebene

die homogen geladen und endlich ist

\( \vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\vec{n} \)

  • σ: Oberflächenladungsdichte
  • ε0: Feldkonstante 8,854*10-12\(\frac{As}{Vm}\)
  • \(\vec{n}\): Normalenvektor, der auf der Ebene senkrecht steht.

Wie Du an der Gleichung siehst ist das elektrische Feld unabhängig davon wie weit entfernt Du Dich von der unendlichen Platte befindest.

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