1. Home
  2. Physik
  3. Aufgaben
  4. Geladener Hohlzylinder: E-Feld innerhalb & außerhalb

Aufgaben: Geladener Hohlzylinder: E-Feld innerhalb & außerhalb

Das solltest Du drauf haben...

Aufgabenstellung

Ein unendlich langer Hohlzylinder mit Radius R ist homogen mit einer Oberflächenladungsdichte σ geladen.

  1. Bestimme das E-Feld \(\vec{E}\) innerhalb des Hohlzylinders
  2. Bestimme das E-Feld \(\vec{E}\) außerhalb des Hohlzylinders
Lösungshinweise

Benutze das Gaußsche Gesetz in folgender Form: \( \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}(\vec{r})~\cdot~d\vec{A} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\)Qeing

Lösungen zur Aufgabe

Lösung für (a)

Das Gaußsche Gesetz - angewandt auf Elektrostatik - besagt, dass der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche \( \mathcal{A} \) der eingeschlossenen Ladung Qeing proportional ist: \( \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}(\vec{r})~\cdot~d\vec{A} = \frac{1}{\epsilon_{0}} \)Qeing

Wenn Du einen gedachten Gauß-Zylinder (mit Radius s und Höhe h) innerhalb des Hohlzylinders platzierst, wirst Du feststellen, dass die vom Gauß-Zylinder eingeschlossene Ladung Qeing= 0 ist, denn der eigentliche Zylinder ist innen hohl. Seine Ladung sitzt nur auf seiner Oberfläche. Wegen Qeing= 0, folgt unter der Voraussetzung, dass die Gauß-Oberfläche nicht Null ist: \( \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}(\vec{r})~\cdot~d\vec{A} \) = 0 ⇔ \( \vec{E} \) = 0

Lösung für (b)

Um das E-Feld außerhalb des Hohlzylinders zu bestimmen, platzierst Du einen gedachten Gauß-Zylinder (mit Radius s und Höhe h), der den Hohlzylinder in seinem Umfang umschließt.

Wie bei Teilaufgabe (a) nutzt Du das Gaußsche Gesetz aus: \( \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}(\vec{r})~\cdot~d\vec{A} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\)Qeing

Sowohl das E-Feld \( \vec{E}(\vec{r}) = E\vec{e}_{r_{\perp}} \) als auch das infinitesimale Flächenelement \( d\vec{A} = dA\vec{e}_{r_{\perp}} \) zeigen beide radial nach außen, weshalb das Skalarprodukt ihrer Einheitsvektoren \( \vec{e}_{r_{\perp}}\cdot\vec{e}_{r_{\perp}}\) = 1 ergibt. Du hast also: \( \oint_{\mathcal{A}}E(\vec{r})~\cdot~dA = \frac{1}{\epsilon_{0}}\)Qeing

Das elektrische Feld ist aufgrund der zylindrischen Symmetrie, unabhängig von z und φ, weshalb es an jedem Punkt der Mantelfläche des Gauß-Zylinders konstant ist. Die Deckel- und Bodenflächen müssen nicht berücksichtigt werden, da deren Normalenvektoren senkrecht zur Richtung des E-Feldes stehen und deshalb herausfallen. Du darfst den Betrag des E-Feldes herausziehen: \( E\oint_{\mathcal{A}}dA = \frac{1}{\epsilon_{0}}\)Qeing

Das Flächenintegral entspricht der Fläche Deines Gauß-Zylinders (einfache Formel für Zylindermantelfläche): \[ E \, 2\pi \, s \, h ~=~ \frac{1}{\epsilon_0} \, Q_{eing} \]

Die eingeschlossene Ladung \( Q_{eing} \) muss noch verarztet werden, da sie Dir nicht bekannt ist. Dafür kennst Du aber (nach der Aufgabenstellung) die Oberflächenladungsdichte \( \sigma \) - allgemein ist sie als Ladung pro Fläche definiert. Die Ladung ist dabei die vom Gauß-Zylinder eingeschlossene Ladung \( Q_{eing} \). Diese Ladung des Hohlzylinders sitzt komplett auf seiner Mantelfläche. Die Mantelfläche \( A_M \) eines Zylinders ist: \( A_M ~=~ 2\pi \, r \, h \). Stelle die Oberflächenladungsdichte nach der Ladung um und setze sie ein: \[ E \, 2\pi \, s \, h ~=~ \frac{1}{\epsilon_0} \, \sigma \, 2\pi \, R \, h \]

Forme jetzt nur noch nach der Feldstärke \( E \) um und berücksichtige die radiale Richtung des E-Feldes:

E-Feld außerhalb vom Hohlzylinder

der unendlich lang und homogen geladen ist:

\[ \vec{E}(s) = \frac{\sigma\,R}{\epsilon_{0}}\,\frac{1}{s}\vec{e}_{r_{\perp}} \]

  • σ: Oberflächenladungsdichte
  • ε0: Feldkonstante 8,854*10-12\(\frac{As}{Vm}\)
  • s: Abstand vom Hohlzylinder (außerhalb)
  • \( \vec{e}_{r_{\perp}} \):Einheitsvektor senkrecht auf der Zylinderachse
Suchst Du nach weiteren Inhalten?

Themen

Aufgaben

Weltkarte
Gehe zu...
Suche
Community
ONLINE 1
Gäste online: 1
Denker online: 0
Welt betreten
Statistiken