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Aufgaben: Gradient vom Betrag r eines Ortsvektors

Vorkenntnisse anzeigen

Aufgabenstellung

Gegeben ist Betrag eines Ortsvektors |\( \vec{r} \)| = \( \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \). Bestimme den Gradienten von |\( \vec{r} \)|

Lösungstipps

Benutze einfach den Nabla-Operator.

Lösungen zur Aufgabe

Lösung anzeigen

Betrag des Ortsvektors ist eine skalare Funktion. Wende darauf den Nabla-Operator an, d.h. leite Funktion |\( \vec{r} \)| nach jeder Ortskomponente (x,y,z) ab: \[ \vec{\nabla}{|\vec{r}|}\left(x,y,z \right) ~=~ \left( \frac{ \partial{|\vec{r}|} }{ \partial{x} }, \frac{ \partial{|\vec{r}|} }{ \partial{y} }, \frac{ \partial{|\vec{r}|} }{ \partial{z} } \right) \]

Rechne jede Komponente aus, dann bekommst Du:

  • 1.Komponente: \[ \frac{ \partial{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} }{ \partial{x} } ~=~ \frac{1}{2}\frac{2x}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } \]
  • 2.Komponente: \[ \frac{ \partial{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} }{ \partial{x} } ~=~ \frac{1}{2}\frac{2y}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } \]
  • 3.Komponente: \[ \frac{ \partial{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} }{ \partial{x} } ~=~ \frac{1}{2}\frac{2z}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} } \]

2 und \( \frac{1}{2} \) kürzen sich weg. Am Ende steht folgendes Vektorfeld (wobei \( \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \) ausgeklammert wurde): \[ \vec{\nabla}{|\vec{r}|}\left(x,y,z \right) ~=~ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \left( x, y, z \right) \]

Dabei ist (x,y,z) ein Ortsvektor \(\vec{r}\). Insgesamt ist der Gradient also: \[ \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \]

Das Ergebnis ist ein Einheitsvektor \( \vec{e} \)r in Richtung \( \vec{r} \).

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