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Aufgaben: Gradient von zwei skalaren Funktionen berechnen

Das solltest Du drauf haben...

Aufgabenstellung

Nimm zwei skalare Funktionen der Form \( f(x,y) \) und \( T(x,y) \). Zeige, dass folgendes gilt: \[ \nabla (f \, T) ~=~ f \, \nabla T ~+~ T \, \nabla f \]

Lösungstipps

Benutze den Nabla-Operator

Lösungen zur Aufgabe

Lösung anzeigen

Setze partielle Ableitungen t := \( \frac{\partial}{\partial{t}} \) für x und y für eine kürzere Schreibweise.

Schreibe - in diesem Fall zweidimensionalen - \( \vec{\nabla} \)-Operator aus: \( \left(\begin{array}{c} \partial_{x}\left(f*T\right) \\ \partial_{y}\left(f*T\right) \end{array}\right) \)

Wende Produktregel für Ableitungen, also (a*b)' = a*b'+b*a', an: \( \left(\begin{array}{c} f*\partial_{x}T + T*\partial_{x}f\\ f*\partial_{y}T + T*\partial_{y}f \end{array}\right) \)

Ziehe den obigen Vektor auseinander und setze \( \nabla \) ein und Du bekommst: \( f\left(\begin{array}{c} \partial_{x}T \\ \partial_{y}T \end{array}\right) + T\left(\begin{array}{c} \partial_{x}f \\ \partial_{y}f \end{array}\right) = f*\nabla{T}+T*\nabla{f} \)

Wenn Du ein Pro bist, kannst Du die Aufgabe auch in der kompakteren Indexnotation umschreiben: \( \nabla{\left(f*T\right)} = \vec{e}_{i}\partial_{i}(f*T) \)

Ableitungsoperator \( \partial_{i} \) wirkt auf alles, was danach steht, also auf \(f\) und auf \(T\). Produktregel benutzen ergibt: \( \vec{e}_{i}\left(f\partial_{i}T + T\partial_{i}f \right) \)

Multipliziere die Klammer aus und setze \(\nabla\)-Definition ( \(\nabla=\vec{e}_{i}\partial_{i} \) ) ein; dann bekommst Du: \[ f\vec{e}_{i}\partial_{i}T + T\vec{e}_{i}\partial_{i}f = f\nabla{T} + T\nabla{f} \]

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