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Aufgaben: Geladene Hohlkugel: Elektrisches Feld innerhalb / außerhalb

Das solltest Du drauf haben...

Aufgabenstellung

Eine homogen geladene Hohlkugel mit der Ladung Q hat den Radius R.

  1. Bestimme das E-Feld außerhalb der Hohlkugel
  2. Bestimme das E-Feld innerhalb der Hohlkugel
Lösungstipps

Benutze das Gausche Gesetz in Kombination mit der Maxwell-Gleichung aus der Elektrostatik für das elektrische Feld: \( \frac{Q_{eing}}{\epsilon_{0}} \) = \(\oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d}\vec{A} \)

Lösungen zur Aufgabe

Lösung zu (a)

Da es sich um ein sphärisches Problem handelt, führt das Gaußsche Gesetz zur schnellsten Bestimmung des E-Feldes.

Um das elektrische Feld außerhalb zu bestmmen, legst Du eine Gaußsche Kugel an, die die Hohlkugel umschließt. Der Radius der Hohlkugel R muss also kleiner als der Radius der Gauß-Kugel: r > R sein.

Benutze den Gaußschen Satz in Kombination mit der Maxwell-Gleichung aus der Elektrostatik für die Divergenz des E-Feldes (in den Anwendungen zum Gaußschen Gesetz findest Du ihre Herleitung): \( \frac{Q_{eing}}{\epsilon_{0}} \) = \(\oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d}\vec{A} \)

Die von der Gauß-Kugel eingeschlossene Ladung Qeing entspricht genau der Gesamtladung der Hohlkugel Q: \( \frac{Q}{\epsilon_{0}} \) = \(\oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d}\vec{A} \)

Jetzt musst Du noch das Oberflächenintegral verarzten! Für dieses sphärische Problem nutzt Du die Kugelkoordinanten (r,θ,φ). Damit lässt sich das elektrische Feld in die jeweiligen Anteile in Kugelkoordinanten zerlegen: \( \vec{E} \) = \( E(r)\,\vec{e}_r + E(\theta)\,\vec{e}_\theta + E(\phi)\,\vec{e}_\phi \)

Die Ladungsverteilung auf der Hohlkugel ist homogen verteilt, d.h. das E-Feld ist an jedem Punkt der Kugel (im Abstand r) gleich. Sein Betrag ist also unabhängig davon, ob Du ein Stückchen in Richtung \(\vec{e}_\theta\) oder \(\vec{e}_\phi\) bewegst. Diese beiden Anteile fallen weg und das E-Feld zeigt nur in radiale Richtung: \( \vec{E} = E(r)\,\vec{e}_r \)

Betrachtest Du nun das infinitesimale Flächenelement der Gauß-Kugel (im Abstand r, dann hast Du: \( d\vec{A} \) = r2sin(θ)\( \vec{e}_r \)

Wie Du am Flächenelement siehst: es muss nicht über r integriert werden. Du darfst also den Betrag E(r) vor das Integral ziehen.

Die beiden Einheitsvektoren vom Flächenelement und vom E-Feld fasst Du zusammen zu: \( \vec{e}_r \cdot \vec{e}_r \) = 1

Insgesamt hast Du also nur noch: \( \frac{Q}{\epsilon_{0}} \) = \( E(r) \, \oint_{\mathcal{A}}dA \)

Wenn Du die Formel für Oberfläche einer Kugel nicht kennst, kannst Du über die Fläche integrieren. Als Ergebnis bekommst Du auf der rechten Seite der Gleichung die Oberfläche der Gauß-Kugel: \( \frac{Q}{\epsilon_{0}} \) = E(r) 4πr2

Forme nach dem Betrag der elektrischen Feldstärke E(r) um und berücksichtige die radiale Richtung des Feldes.

E-Feld außerhalb einer Hohlkugel

die homogen geladen ist und und r > R:

\( \vec{E}(\vec{r}) \) = \( \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{r^2}\vec{e}_r \)

  • Q: Gesamtladung der Hohlkugel in C
  • r: Abstand vom Kugelmittelpunkt außerhalb der Kugel, in m
  • ε0: Feldkonstante 8,854*10-12\(\frac{As}{Vm}\)
  • \( \vec{e}_r \): Einheitsvektor in radiale Richtung

Das E-Feld außerhalb einer Hohlkugel fällt mit 1/r2 ab; wie bei einer im Mittelpunkt konzentrierten Punktladung oder wie das E-Feld einer ausgedehnten Vollkugel (außerhalb).

Lösung zu (b)

Lege wie bei Teilaufgabe (a) eine gedachte Gauß-Kugel mit Radius r an, die jetzt aber nicht die Hohlkugel umschließt, sondern in der Hohlkugel drin ist. Es gilt also: r < R.

Benutze das Gaußsche Gesetz aus dem Hinweis: \( \frac{Q_{eing}}{\epsilon_{0}} \) = \(\oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d}\vec{A} \)

Jetzt musst Du erkennen, dass eine Gauß-Kugel, die sich in einer geladenen Hohlkugel befindet, keine Ladung einschließt (denn die Hohlkugel ist HOHL): Qeing = 0.

Damit wird das Gaußsche Gesetz zu: 0 = \(\oint_{\mathcal{A}}\vec{E}\cdot{d}\vec{A} \)

Da die Oberfläche der Gauß-Kugel nicht Null ist, muss das elektrische Feld Null sein.

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