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Alexander Fufaev

Dispersionsrelation der Gitterschwingung - zweiatomige Basis (1D)

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Dispersionsrelation der Gitterschwingung - zweiatomige Basis (1D)
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Hier siehst Du die Dispersionsrelation \( \omega_{\pm} (k) \) (Abhängigkeit der Frequenz \(\omega_{\pm}\) von der Wellenzahl \(k\)) für ein zweiatomiges Kristallgitter, welches aus Doppelketten besteht, die einen Abstand \(a\) (genannt Gitterkonstante) zueinander haben. Eine zweiatomige Basis hat in 1D zwei Dispersionszweige: optischer und akustischer Zweig.

Normalerweise ist die resultierende Dispersionsrelation eine periodische Funktion. Da aber in all den anderen Perioden keine zusätzliche Information über die Gitterschwingungen enthalten ist, wird sie auf die 1. Brillouin-Zone reduziert, die im Bereich von \( -\frac{\pi}{a} \) bis \( \frac{\pi}{a} \) liegt. Bei dieser Dispersionsrelation ist sogar eine Reduktion nur auf die rechte hälfte der 1.BZ ausreichend.

Am Rand der 1.BZ (d.h. am Punkt \( \frac{\pi}{a} \)) verschwindet die Gruppengeschwindigkeit (Steigung der Funktion) und es ergeben sich stehende Wellen für alle Wellen, die die Wellenzahl \( k = \frac{\pi}{a} \) besitzen.

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