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Alexander Fufaev

Was ist der Unterschied zwischen differentieller und integraler Form der Maxwell-Gleichungen?

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Zuerstmal: sowohl die integrale als auch die differentielle Form der Maxwell-Gleichungen sind äquivalent. Nehmen wir als Beispiel den Gauß-Integralsatz in differentieller Form und in integraler Form:

Maxwell-Gleichung: Differentielle Form \[ \nabla ~\cdot~ \vec{E} ~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]
Maxwell-Gleichung: Integrale Form \[ \oint_\mathcal{\partial V} \vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} ~=~ \frac{Q}{\varepsilon_0} \]

Wie Du siehst: die Integrale Form enthält ein Integral mit dem über eine geschlossene Fläche \( \mathcal{\partial V} \) integriert wird. Die differentielle Form dagegen enthält kein Integral, aber einen Differentialoperator (Nabla-Operator), mit dem die Änderung des elektrischen Felds \( \vec{E} \) an einem einzigen Raum- und Zeitpunkt untersucht wird.

Der Vorteil der integralen Form ist, dass mit ihr gut Probleme mit hoher Symmetrie lösen lassen. Wie z.B. bei der Quest "Elektrisches Feld einer geladenen Hohlkugel", wo eine sphärische Symmetrie vorkommt.

Die kompaktere differentielle Form dagegen, kann beispielsweise leichter in bestimmten Herleitungen benutzt werden, wie z.B. bei der Herleitung der elektromagnetischen Wellen aus den Maxwell-Gleichungen. Auch ist es mit der differentiellen Form leichter die Kovarianz der Elektrodynamik (die Kompatibilität mit der speziellen Relativitätstheorie) zu zeigen.

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