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Alexander Fufaev

Hermite-Polynome

aus dem Bereich: Formeln
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\[ H_n(x) ~=~ (-1)^n \, e^{x^2} \, \frac{\text{d}^n}{\text{d}x^n} \, e^{-x^2} \]
Hermite-Polynom \( H_n(x) \)

ist eine Lösung einer Hermiteschen Differentialgleichung zweiter Ordnung von der Form: \[ \frac{\text{d}^2 H_n}{\text{d}x^2} ~-~ 2x \, \frac{\text{d} H_n}{\text{d}x} ~+~ 2n \, H_n ~=~ 0 \] So enthält beispielsweise die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen harmonischen Oszillator die Hermite-Polynome. Die ersten vier Hermite-Polynome lauten: \[ H_0(x) = 1 \\ H_1(x) = 2x \\ H_3(x) = 4x^2 - 2 \\ H_4(x) = 8x^3 - 12x \]

\(n\)-te Ableitung \( \frac{\text{d}^n}{\text{d}x^n} \)

der dahinter stehenden Exponentialfunktion \( e^{-x^2} \) nach \( x \).

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