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Alexander Fufaev

Formeln: Lebesgue-Integral

\[ \int f ~ \text{d}\mu ~=~ \sup \int s ~ \text{d}\mu ~=~ \sup \sum_{j=1}^k \, c_j \, \mu(E_j) \]
Funktion \( f \)

sie muss messbar und \( \geq ~ 0 \) sein.

Koeffizienten \( c_j \)

positive reelle Zahlen.

Supremum \( \sup \)

Damit Supremum überhaupt einen Sinn macht, muss: \( 0 \leq s \leq f \).

Einfache Funktionen \( s \)

messbar, nicht-negativ und nimmt eine endliche Anzahl an Funktionswerten \( c_j \) an. Es gilt: \( \sum_{j=1}^k ~ c_j \chi_{E_j} \). Dabei sind \( E_j \) messbare Mengen und \( \chi_{E_j} \) ist die charakteristische Funktion von \( E_j \).

Messbare Menge \( E_j \)

auf der die Funktion \( f \) den Wert \( c_j \) annimmt.

Maß \( \mu(E_j) \)

von einer messbaren Menge \( E_j \). Sie ergibt eine nicht-negative reelle Zahl oder \( \infty \).

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