\[ \int_{D'} f(y) \, \text{d}y ~=~ \int_{D} f(T(x)) \,*\, |\text{det} T'(x)| \, \text{d}x \]
Erklärung der Formelzeichen
Mengen \(D\) und \(D'\)
sie sind Teilmengen des \(\mathbb{R}^n\), sowie offen und beschränkt.
Abbildung \( T: D ~\rightarrow~ D' \)
ist ein \(C^1\)-Diffeomorphismus, d.h. \( T \) ist bijektiv und \( T \), sowie ihre Umkehrabbildung sind min. 1x stetig differenzierbar.
Abbildung \( f: D' ~\rightarrow~ \mathbb{R} \)
sie sollte beschränkt und integrierbar auf \( D' \) sein.
Komposition \( f(T(x)) \)
von Abbildungen \( f \) und \( T \), also \( (f ~\circ~ T)(x) \). Die Komposition sollte auf \( D \) beschränkt und integrierbar sein.
Betrag der Jacobi-Determinante \( |\text{det} T'(x)| \)
von der Abbildung \( T \).