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Alexander Fufaev

Gauß-Verteilung (Normalverteilung)

aus dem Bereich: Formeln
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\[ p(x) ~=~ \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
Gauß-Verteilung (Normalverteilung)Info
Gauß-Verteilung (Normalverteilung)
Wahrscheinlichkeitsdichte \( p(x) \) SI-Einheit: \( \frac{1}{\text{Dimension von} ~ x} \)

Mit ihrer Hilfe kannst Du herausfinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable \( x \) in einem bestimmten Intervall z.B. [a,b] liegt. Und zwar ist die Wahrscheinlichkeit gegeben durch: \[ P = \int_a^b p(x) \, \text{d}x \]

Zufallsvariable \( x \) SI-Einheit: je nach Messgröße

Diese muss für die Gauß-Verteilung eine kontinuierliche Zufallsvariable sein. Das Ergebnis eines Würfelwurfs ist dagegen diskret und nicht kontinuierlich, weil Du beispielsweise keinen 1.66345 Wurf machen kannst.

Standardabweichung \( \sigma \) SI-Einheit: \( \text{Dimension von} ~ x \)

Sie ist ein Maß für die Breite der Gauß-Verteilung - damit ist der Abstand von der Symmetrieachse bis zum Wendepunkt der Funktion gemeint. Ungefähr 68% der Ergebnisse weichen maximal eine Standardabweichung vom Symmetriezentrum (z.B. Mittelwert) ab.

Dabei wird \( \sigma^2 \) als Varianz bezeichnet.

Symmetriezentrum \( \mu \) SI-Einheit: \( \text{Dimension von} ~ x \)

Dieses steht meistens für den (theoretischen) Mittelwert, Median oder Modus. Die Gauß-Verteilung liegt symmetrisch um \( \mu \).

Eulersche-Zahl \( \text{e} \)

Sie ist eine mathematische Konstante und hat den Wert \( \text{e} ~=~ 2.71828... \) Die Exponentialfunktion ist definiert als \( \exp(x) := e^x \).

Kreiszahl \( \pi \)

ist eine mathematische Konstante und hat den Wert \( \pi ~=~ 3.1415926... \)

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