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Alexander Fufaev

Wellenfunktion - harmonischer Oszillator (1D)

aus dem Bereich: Formeln
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\[ \Psi_{n}(x) ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{ 2^n \, n!}} \, H_n(y) \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \]
Eindimensionale Wellenfunktion \( \Psi_n(x) \) SI-Einheit: \( \frac{1}{\sqrt{\text m}} \)

Es ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein quantenmechanisches Teilchen (z.B. Elektron) in einem eindimensionalen parabolischen Potential (Potential eines harmonischen Oszillators).

Quantenzahl \( n \) SI-Einheit: dimensionslos

Sie nimmt diskrete Werte an: \( n ~=~ 1,2,3... \). Für \( n ~=~ 1 \) bekommst Du eine Wellenfunktion \( \Psi_1(x) \) eines gebundenen Teilchens im Grundzustand.

Ort \( x \) SI-Einheit: \( \text{m} \)

Von dem gebundenen Teilchen im harmonischen Potential.

Hermite-Polynome \( H_n(y) \)

ist eine Lösung einer Hermiteschen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Beim harmonischen Oszillator ist \(y\): \[ y ~=~ \sqrt{\frac{m \, \omega}{\hbar}} \, x \]

Kreisfrequenz \( \omega \) SI-Einheit: \( \frac{1}{\text{s}} \)

ist die charakteristische Kreisfrequenz des harmonischen Oszillators. Also sie gibt an, wie schnell das Teilchen der Masse \( m \) schwingt. Es gilt \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \), wobei \( k \) die Kopplungskonstante ("Federkonstante") ist.

Elementarwirkung \( h \) SI-Einheit: \( \text{Js} \) (Joulesekunde)

Es ist eine Konstante aus der Quantenmechanik und hat den Wert \( 6.626 \,\cdot\, 10^{-34} \, \text{Js} \).

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