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Aufgaben: Ist die gegebene 2x2-Matrix eine Dichtematrix?

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  • Matrizenrechnung
  • Eigenwerte berechnen
  • Hermitescher Operator

Aufgabenstellung

Überprüfe, ob die folgende reelle 2x2-Matrix eine Dichtematrix ist: \[ \rho ~=~ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & 1-\cos(\theta) \\ \end{pmatrix} \]

Allgemeine Lösungstipps

Wenn \( \rho \) eine Dichtematrix ist, dann erfüllt sie drei folgende Eigenschaften:
(1) \( \rho ~=~ \rho^{\dagger} \)
(2) \( \text{tr}(\rho) ~=~ 1 \)
(3) \( \rho \) positiv definit

Lösungen zur Aufgabe

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Überprüfe die in den Lösungstipps erwähnten Eigenschaften einer Dichtematrix.

(1) \( \rho^{\dagger} ~=~ (\rho^*)^{\text T} \). Da \( \rho \) eine reelle Matrix ist, ist sie mit der komplex konjugierten Matrix \( \rho^* \) gleich. Außerdem ändert das Transponieren in diesem Fall die Matrix nicht. Deshalb: \[ \rho ~=~ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & 1-\cos(\theta) \\ \end{pmatrix} ~=~ \rho^* ~=~ (\rho^*)^{\text T} ~=~ \rho^{\dagger} \]

(2) Die Spur von \( \rho \) ergibt: \[ \text{tr}(\rho) ~=~ \frac{1}{2}\left( 1 ~+~ \cos(\theta) ~+~ 1 ~-~ \cos(\theta) \right) ~=~ 1 \]

(3) Wenn \( \rho \) positiv definit ist, dann müssen alle Eigenwerte von \( \rho \) größer oder gleich Null sein (und zusammen 1 ergeben): \[ \text{det} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\theta) - \lambda & \frac{1}{2}\sin(\theta) \\ \frac{1}{2}\sin(\theta) & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(\theta) - \lambda \\ \end{pmatrix} \]

Die Determinante ergibt: \[ \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\theta) \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(\theta) \right) ~-~ \frac{1}{4}\sin(\theta)^2 ~=~ \frac{1}{4} \left( \left( 1 - 2\lambda \right)^2 ~-~ \cos(\theta)^2 \right) ~-~ \frac{1}{4}\sin(\theta)^2 ~=~ \frac{1}{4} \left( 1 - 4\lambda + 4\lambda^2 ~-~ (\cos(\theta)^2 + \sin(\theta)^2) \right) ~=~ \lambda^2 ~-~ \lambda ~=~ \lambda(\lambda ~-~ 1) ~=~ (\lambda ~-~ 0)(\lambda ~-~ 1) \]

Die Eigenwerte (Nullstellen) können sofort abgelesen werden \( \lambda_1 ~=~ 0 \) und \( \lambda_2 ~=~ 1 \). Beide Eigenwerte sind positiv.

Alle drei Eigenschaften einer Dichtematrix werden von der Matrix \( \rho \) erfüllt. Also ist \( \rho \) eine Dichtematrix!

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