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Aufgaben: Schiefe Ebene: DGL's mit Lagrange 2. Art aufstellen

Das solltest Du drauf haben...
  • Lagrange-Formalismus - das Rezept zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen
  • Integral- und Differentialrechnung - zum Auswerten der Lagrange-Gleichungen 2. Art

Aufgabenstellung

Betrachte einen Klotz der Masse \( m \), der auf einer schiefen Ebene, die um den Winkel \( \alpha \) geneigt ist, reibungsfrei hinunterrutscht.

  • Bestimme die Bewegungsgleichungen mithilfe der Lagrange-Gleichungen 2. Art.
  • Löse die aufgestellten Bewegungsgleichungen.
Allgemeine Lösungstipps

Wende das Rezept zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen an:
1. Schritt: Wähle generalisierte Koordinaten \( q_i \)
2. Schritt: Bestimme die Lagrange-Funktion
3. Schritt: Stelle Bewegungsgleichungen mit Lagrange-Gleichungen 2.Art auf
4. Schritt: Löse die aufgestellten Bewegungsgleichungen
5. Schritt: Bestimme - wenn nötig - die Integrationskonstanten mit gegebenen Anfangsbedingungen

Lösungen zur Aufgabe

Lösung zu (a)

Du gehst nach dem Rezept zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen vor. Es gibt grundsätzlich insgesamt 5 Schritte:

Schritt 1: Wähle generalisierte Koordinaten \( q_i \)

Du kannst den Klotz als einen Massenpunkt auf der Ebene betrachten, mit der Masse \( m \). Der Neigungswinkel der Ebene ist unveränderlich, weshalb er sich nicht als verallgemeinerte Koordinate eignet. Die sinnvollste Koordinate, die als verallgemeinerte Koordinate genommen werden kann, ist der Ort \( s(t) \) des Klotzes auf der Ebene.

Sie ist die einzige Koordinate, weil der Klotz sich nur auf einer Linie bewegen kann, weshalb er nur einen Freiheitsgrad besitzt. Und es gilt: #Freiheitsgrade = #Anzahl generalisierter Koordinaten.

Die Koordinate \( s(t) \) muss aber auch den zum Problem gehörenden 2 holonomen Zwangsbedingungen genügen. Erste Zwangsbedingung ist durch die Einschränkung der Bewegung auf eine Ebene gegeben (2D-Problem): \[ z ~=~ 0 \] und die zweite Zwangsbedingung ist durch die konstante Steigung der Geraden \( s(t) \) gegeben: \[ \frac{y}{x} ~-~ \tan(\alpha) ~=~ 0 \]

Es gibt nur 2 Zwangsbedingungen für dieses Problem, denn ihre Anzahl ist gegeben durch: #Zwangsbedingungen = #Freiheitsgrade insgesamt - #Freiheitsgrade vom System = 3 - 1. Um zu sehen, dass insbesondere die 2. Zwangsbedingung erfüllt ist, schreibst Du (x,y) um: \[ \frac{\sin(\alpha) \, s}{\cos(\alpha) \, s} ~-~ \tan(\alpha) ~=~ \tan(\alpha) ~-~ \tan(\alpha) ~=~ 0 \] Offensichtlich sind die beiden Zwangsbedingungen für alle Werte von \( s(t) \) erfüllt, also sind sie unabhängig von \( s(t) \). Damit kann \( s(t) \) in jedem Fall als verallgemeinerte Koordinate genommen werden, weil sie das System (schiefe Ebene) vollständig beschreibt.

Schritt 2: Bestimme die Lagrange-Funktion

Die Lagrange-Funktion - bezogen auf Koordinate \( s \) - lautet: \[ \mathcal{L}(s,\dot{s},t) ~=~ T(s,\dot{s},t) ~-~ U(s,t) \]

Kinetische Energie \( T \) - ausgedrückt mit verallgemeinerter Koordinate - lautet: \[ T ~=~ \frac{1}{2} \, m \, \left( \dot{x}^2 ~+~ \dot{y}^2 \right) ~=~ \frac{1}{2} \, m \, \dot{s}^2 \] wobei hier \( \dot{x} ~=~ \dot{s} \, \cos(\alpha) \) und \( \dot{y} ~=~ \dot{s} \, \sin(\alpha) \) ausgedrückt wurde.

Und die potentielle Energie \( U \) - ausgedrückt mit verallgemeinerter Koordinate - lautet: \[ U ~=~ m \, g \, y ~=~ m \, g \, \sin(\alpha) \, s \]

Damit lautet die Lagrange-Funktion: \[ \mathcal{L}(s,\dot{s},t) ~=~ \frac{1}{2} \, m \, \dot{s}^2 ~-~ m \, g \, \sin(\alpha) \, s \]

Schritt 3: Aufstellen der Bewegungsgleichungen

DGL's stellst Du mithilfe der Lagrange-Gleichungen 2. Art auf. Es gibt - wegen nur einer generalisierter Koordinate \( s \) - auch nur eine einzige Bewegungsgleichung.

Die Lagrange-Gleichung 2. Art lautet - angewendet auf Koordinate \( s \): \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{s}} ~=~ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s} \]

Verarzten wir mal die Lagrange-Gleichung in Einzelschritten. Zuerst: 1 \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{s}} ~=~ m \, \dot{s} \]

Dann ergibt die zeitliche Ableitung von 1: \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{s}} ~=~ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, m \, \dot{s} ~=~ m \, \ddot{s} \]

Berechne noch die rechte Seite der Lagrange-Gleichung und Du bekommst: 2 \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s} ~=~ -m \, g \, \sin(\alpha) \]

Wenn Du nun die Ergebnisse 1 und 2 in die Lagrange-Gleichung schreibst und noch auf beiden Seiten der Gleichung durch die Masse \( m \) teilst, bekommst Du die gesuchte Bewegungsgleichung für die schiefe Ebene: 3 \[ \ddot{s} ~=~ -g \, \sin(\alpha) \]

Lösung zu (b)

Schritt 4: Löse die aufgestellte Bewegungsgleichung

Die Integration der Bewegungsgleichung 3 ist nicht schwer. Dein Ziel ist es ja die Bahn \( s(t) \) zu bestimmen. Dazu integrierst Du 3 zwei Mal über die Zeit. Dabei wird die Anfangszeit \( t_0 \) (als untere Integrationsgrenze) Null gesetzt. Das heißt: Zum Zeitpunkt \( t_0 ~=~ 0 \) fängt der Klotz die schiefe Ebene hinunterzurutschen.

Die erste Integration über die Zeit (hier wurde die Integrationsvariable als \( t' \) geschrieben, um sie nicht mit der oberen Integrationsgrenze \( t \) zu verwechseln) 3 \[ \int_{0}^{t} \ddot{s} ~ \text{d}t' ~=~ -g \, \sin(\alpha)\int_{0}^{t} \text{d}t' \] ergibt nach dem Integrieren und Einsetzen der Integrationsgrenzen: 4 \[ \dot{s}(t) ~-~ \dot{s}(0) ~=~ -g \, \sin(\alpha) \, t \]

Die zweite Integration 5 \[ \int_{0}^{t} \dot{s} ~ \text{d}t' ~=~ \int_{0}^{t} \left( -g \, \sin(\alpha) \, t ~+~ \dot{s}(0) \right) ~ \text{d}t' \] ergibt: \[ s(t) ~-~ s(0) ~=~ -\frac{1}{2} \,g \, \sin(\alpha) \, t^2 ~+~ \dot{s}(0) \, t \]

Schritt 5: Integrationskonstanten konkret einsetzen

Mit den Anfangsbedingungen \( s(0) ~=~ s_0 \) und \( \dot{s}(0) ~=~ v_0 \) lautet die gesuchte Lösung für schiefe Ebene: \[ s(t) ~=~ -\frac{g}{2} \, \sin(\alpha) \, t^2 ~+~ v_0 \, t ~+~ s_0 \]

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