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Alexander Fufaev

Energieerhaltungssatz im Gravitationsfeld

aus dem Bereich: Argumentationen
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Zuerst lernst Du, woher die Summe aus potentieller und kinetischer Energie überhaupt kommt...

Das 2. Newtonsche Axiom besagt: 1 \[ m \, \ddot{\vec{r}} ~=~ \vec{F} \]

Bilde auf beiden Seiten der Gleichung 1 das Skalarprodukt mit der Geschwindigkeit \( \dot{\vec{r}} \): 2 \[ m \, \ddot{\vec{r}} ~\cdot~ \dot{\vec{r}} ~=~ \vec{F} ~\cdot~ \dot{\vec{r}} \]

Die linke Seite in 2 lässt sich so umschreiben, 3 \[ \frac{1}{2} \, m \, \frac{\text{d}}{\text{d}t}\, \dot{\vec{r}}^2 ~=~ \vec{F} ~\cdot~ \dot{\vec{r}} \] dass \( \frac{1}{2} \, m \, \dot{\vec{r}}^2 \) als kinetische Energie des Teilchens \( T \) identifiziert werden kann: 4 \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, T ~=~ \vec{F} ~\cdot~ \dot{\vec{r}} \]

Teile die Kraft in zwei Anteile auf. In einen konservativen und einen dissipativen Anteil: 5 \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, T ~=~ \left( \vec{F}_{\text{konst}} + \vec{F}_{\text{diss}} \right) ~\cdot~ \dot{\vec{r}} \]

Nun kannst Du \( \vec{F_{\text{kons}}} ~\cdot~ \dot{\vec{r}} \) mit der zeitlichen Ableitung des Potentials ausdrücken: 6 \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, T ~=~ -\frac{\text{d}U}{\text{d}t} + \vec{F}_{\text{diss}} ~\cdot~ \dot{\vec{r}} \] denn jede konservative Kraft, besitzt ein Potential \( U(\vec{r}) \).

Wenn Du noch \( -\frac{\text{d}U}{\text{d}t} \) auf die rechte Seite bringst und den Differentialoperator \( \frac{\text{d}}{\text{d}t} \) ausklammerst (das darfst Du, weil die Zeitableitungs-Operator auf alle Summanden angewendet wird), bekommst Du: 7 \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \left( T ~+~ U(\vec{r}) \right) ~=~ \vec{F}_{\text{diss}} ~\cdot~ \dot{\vec{r}} \]

Wenn die zeitliche Ableitung der Summe aus kinetischer und potentieller Energie Null ergibt, sind die auf das Teilchen wirkenden Kräfte konservativ und: 8 \[ T ~+~ U(\vec{r}) ~=~ \text{const.} ~=:~ E \]

Damit hast Du eine Gesamtenergie \( E \), die genau dann im Teilchen erhalten ist, wenn das Kraftfeld - in dem sich das Teilchen bewegt - konservativ ist. Es gibt also beispielsweise keine Reibungkräfte, denn sie sind dissipativer Natur!

Beweis der Energieerhaltung im Gravitationsfeld

Potentielle Energie ist abhängig von der Höhe: \( E_{\text{pot}}(x) \). Es spielt also eine Rolle, ob du dich auf 10 Meter oder auf 20 Meter Höhe befindest, denn durch eine andere Lage, besitzt Du eine andere potentielle Energie.

Energieerhaltung bedeutet mathematisch ausgedrückt - "Ableitung der Gesamtenergie nach der Zeit muss Null ergeben": \[ \frac{\text{d}E}{\text{d}t} ~=~ 0 \]

Egal wie lange Du wartest, Gesamtenergie bleibt immer gleich! Natürlich unter der Voraussetzung, dass keine äußeren Einflüsse auf das System wirken (z.B. äußere Wärmezufuhr, Kräfte etc.). Schauen wir uns nun an, ob die zeitliche Ableitung 0 ergibt...

Zuerst die kinetische Energie: \[ E_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} m \, v^2 \]

Geschwindigkeit \( v \) ist eine zeitliche Ableitung des Ortes, schreiben wir das um: \[ E_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} m \, \left( \frac{ \text{d}x }{ \text{d}t } \right)^2 \]

Das Ganze abgeleitet nach der Zeit ergibt: \[ \frac{\text{d}E_{\text{kin}}}{\text{d}t} ~=~ \frac{ 1 }{ 2 } m * 2\frac{ \text{d}x }{ \text{d}t }*\frac{ \text{d}^{ 2 }x }{ \text{d}t^2 } ~=~ \frac{ 1 }{ 2 }m\,2v\,a \]

Bei der Ableitung wurde die Produktregel angewendet: äußere Ableitung \( v^{2}=\left( \frac{ \text{d}x }{ \text{d}t } \right)^{ 2 } = 2\frac{ \text{d}x }{ \text{d}t }=2v \) multipliziert mit der inneren Ableitung (Ableitung der Geschwindigkeit): \( \frac{dv}{dt}=\frac{ \text{d}^{ 2 }x }{ \text{d}t^{ 2 } } = a \), was der Beschleunigung \( a \) entspricht. \( \frac{ 1 }{ 2 }\) und \(2\) kürzen sich weg!

Jetzt noch die potentielle Energie nach der Zeit ableiten: \[ \frac{ \text{d}E_{\text{pot}} }{ \text{d}t } \]

Sie hängt aber nicht direkt von der Zeit, sondern vom Ort \( x \) ab. Der Ort ist zeitabhängig! Also betrachten wir sozusagen, die Änderung der potentiellen Energie bezüglich der zeitlichen Ableitung des Ortes: \[ \frac{ \text{d}E_{\text{pot}} }{\text{d}x} \, \frac{\text{d}x}{ \text{d}t} \]

Addieren wir nun die beiden zeitlichen Ableitungen der kinetischen und potentiellen Energie, so erhalten wir die zeitliche Ableitung der Gesamtenergie: \[ \frac{\text{d}E}{dt} ~=~ m\,v\,a ~+~ \frac{\text{d}E_{\text{pot}}}{\text{d}x} \, v \]

Klammere die Geschwindigkeit aus: \[ \frac{\text{d}E }{\text{d}t} ~=~ v \, \left( ma + \frac{\text{d}E_{\text{pot}}}{\text{d}x} \right) \]

\( ma\) ist eine Kraft \(F\), welcher der Gradient: \( \frac{\text{d}E_{\text{pot}}}{\text{d}x} = -F \) entgegen gerichtet ist. Einsetzen ergibt: \[ \frac{ \text{d}E }{ \text{d}t } ~=~ v \, \left( F - F \right) ~=~ 0 \]

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