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Alexander Fufaev

Energieerhaltungssatz im Gravitationsfeld

aus dem Bereich: Argumentationen
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Für die Herleitung brauchst Du Formeln für kinetische und potentielle Energie, die zusammen die mechanische Gesamtenergie darstellen.

Kinetische Energie - Raumschiff fliegt mit einer Geschwindigkeit
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Raumschiff mit der Masse \( m \) fliegt mit einer Geschwindigkeit \( v \) und besitzt deshalb eine kinetische Energie.
Formel: Kinetische Energie \[ E_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]
Mehr zur Formel...
  • Ekin: Bewegungsenergie in J
  • m: Masse in kg
  • v: Geschwindigkeit in m/s
Potentielle Energie - nahe der Planetoberfläche Speichern | Info
Potentielle Energie (hier eines Apfels) - nahe der Planetoberfläche.
Formel: Potentielle Energie
Sie ist eine Näherung für nicht allzu große Höhen und gilt im Gravitationsfeld der Erde.
\[ E_{\text{pot}} ~=~ m \, g \, h \]
Mehr zur Formel...
  • Epot: Potentielle Energie in J
  • m: Masse in kg
  • g: Fallbeschleunigung 9,81 m/s2
  • h: Höhe über dem Erdbodenm

Du musst prüfen, ob die Gesamtenergie von einem - im Gravitationsfeld fallenden - Objekt zeitlich gleich bleibt: \[ E ~=~ E_{kin} ~+~ E_{pot} ~=~ \text{const.} \]

Die Energieerhaltung bedeutet also: Erhöht sich die potentielle Energie des Körpers, dann muss die kinetische Energie um den gleichen Betrag abnehmen, damit die Gesamtenergie \( E \) konstant bleibt.

Wie Du beim Lesen hoffentlich bereits erfahren hast: Die Reibungskraft muss für die Erhaltung der Energie vernachlässigt werden, denn sie ist eine dissipative Kraft und für dissipative Kräfte gilt die Energieerhaltung nicht!

So fängst Du an: Lasse ein beliebiges Objekt mit der Masse \( m \) und der Anfangsgeschwindigkeit vstart von einer nicht zu großen Höhe hstart zum Erdboden fallen.

Damit beträgt seine Gesamtenergie im Gravitationsfeld der Erde: \[ E ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v_{start}^2 ~+~ m \, g \, h_{start} \]

Die Gesamtenergie ist gleichzeitig auch die Anfangsenergie, die der Körper bei der Höhe \( h_{start} \) bekommt und - im Allgemeinen Fall - auch noch mit einer Geschwindigkeit \( v_{start} \) heruntergeworfen wird. Das ist der maximale Vorrat an Energie von diesem Objekt. WENN Energieerhaltung im Schwerefeld gilt, dann darf dieser Wert \( E \) (der durch die obige Gleichung gegeben ist) zu keiner Zeit kleiner oder größer werden! Prüfe das, in dem Du das Objekt herunterwirfst...

Beim Fallen verliert das Objekt an Höhe, d.h. potentielle Energie \( E_{pot} \) nimmt mit sinkender Höhe \( h \) ab. Währenddessen wird das Objekt im Gravitationsfeld beschleunigt, weshalb natürlich seine Geschwindigkeit \( v \) und somit auch kinetische Energie \( E_{kin} \) zunehmen.

Du musst zeigen, dass der Betrag, um den sich die potentielle Energie verringert hat ΔEpot, genau gleich dem Betrag ist, um den sich die kinetische Energie erhöht hat ΔEkin. Denn nur so bleibt die Gesamtenergie konstant!

Die Gesamtänderung ΔEges der anfangs vorgegebenen Energie muss also Null sein, wenn Energieerhaltungssatz tatsächlch gilt: \[ \Delta E ~=~ \Delta E_{kin} ~+~ \Delta E_{pot} \stackrel{!}{=} 0 \] (Das Ausrufezeichen über dem Gleichheitszeichen bedeutet, dass die Summe der Differenzen Null sein MUSS, falls Energieerhaltung gilt!)

Differenz der potentiellen Energien umschreiben

Die Differenz ΔEpot ist der Unterschied zwischen zweier Höhenenergien an zwei unterschiedlichen Höhen. Diese kannst Du frei wählen. Hier wählst Du aber die Start- und Endhöhe, weil dadurch ein Summand dann wegfällt und die Gleichungen sich vereinfachen. Die Starthöhe - von der das Objekt fallen gelassen wird - ist hstart, und die Endhöhe bezeichnest Du mal mit hend.

Die Differenz lautet mit diesen Festlegungen also: \[ \Delta E_{pot} ~=~ m \, g \, h_{start} ~-~ m \, g \, h_{end} \]

Die Erdbeschleunigung \( g \) ist konstant, weshalb Du \( h_{start} \) mit einer Formel für Strecke (aus der Kinematik) \( \frac{1}{2} \, g \, t_{start}^2 \) ersetzen kannst. Du kannst ohne Bedenken die Startzeit auf Null setzen (so wie bei einer Stoppuhr). Damit fällt natürlich \( m \, g \, h_{start} \) wegen \( h_{start} ~=~ \frac{1}{2} \, g \, 0^2 ~=~ 0\) weg.

Bis die Endhöhe \( h_{end} \) vom - zur Erde hin beschleunigten - Objekt erreicht wurde, ist während des Fallens eine bestimmte Zeit \( t_{end} \) vergangen. In dieser Zeit wurde die Strecke \( h_{end} ~=~ \frac{1}{2} \, g \, t_{end}^2 \) zurückgelegt.

Übrig bleibt für die Änderung der potentiellen Energie (nach dem Einsetzen von \( h_{end} \)): \[ \Delta E_{pot} ~=~~-~ \frac{1}{2} \, m \, g^2 \, t_{end}^2 \]

Differenz der kinetischen Energien umschreiben

Auf der Endhöhe hat das Objekt eine andere - größere - Geschwindigkeit als beim Start (da es ja durch Gewichtskraft beschleunigt wurde). Damit hat sich die kinetische Energie um folgenden Betrag geändert: \[ \Delta E_{kin} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v_{end}^2 ~-~ \frac{1}{2} \, m \, v_{start}^2 \]

Da Objekte im Gravitationsfeld konstant beschleunigt werden, darfst Du die Geschwindigkeit schreiben als v=g·t.

Die Startzeit tstart hast Du ja wie bei potentieller Energie auf Null gesetzt. Damit fällt der Term \( \frac{1}{2} \, m \, v_{start}^2 \) weg.

Nach der Zeit \( t_{end} \) hat das Objekt die Geschwindigkeit \( v_{end} \) erreicht. Ersetze die Endgeschwindigkeit \( v_{end} \) mit \( g \, t_{end} \).

Die kinetischen Energie hat sich also um folgenden Wert von \( t_{start} \) bis \( t_{end} \) geändert: \[ \Delta E_{kin} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, g^2 \, t_{end}^2 \]

Wie Du wahrscheinlich schon siehst, die Änderung der potentiellen \( \Delta E_{pot} \) und kinetischen Energie \( \Delta E_{kin} \), die Du oben ausgerechnet hast hebt sich gegenseitig weg: \[ \Delta E ~=~ \Delta E_{pot} ~+~ \Delta E_{kin} ~=~ -\frac{1}{2} \, m \, g^2 \, t_{end}^2 ~+~ \frac{1}{2} \, m \, g^2 \, t_{end}^2 ~=~ 0 \]

Damit hast Du den Energieerhaltungsatz für frei fallende Körper gezeigt!

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