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Alexander Fufaev

Längenkontraktion

aus dem Bereich: Argumentationen
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Um die Längenkontraktion herzuleiten, stell Dir vor, Du wärst ein ruhender Beobachter auf der Erde. Von der Erde aus ist ein Raumschiff zum Zeitpunkt \( t_E ~=~ 0 \) gestartet. Es flog mit einer konstanten Geschwindigkeit \( v \) bis zu einem Planeten Alpha und kam dort zu irgendeinem bestimmten Zeitpunkt an.

Längenkontraktion: Strecke verkürzt
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Hier siehst Du zwei unterschiedliche Inertialsysteme. Im obigen Fall wurde die Strecke \( s_R \) aus Sicht der ruhenden Erde gemessen. Im unteren Fall ist die Strecke \( s_E \) aus Sicht des ruhenden Raumschiffs.

Die Zeitspanne, die das Raumschiff aus Deiner ruhenden Sicht gebraucht hat sei \( \Delta t_E \).

Jetzt wechselst Du das Inertialsystem. Du versetzt Dich in die Lage des Käpt'n im Raumschiff. Aus seiner Sicht ruht das Raumschiff, während die Erde sich von ihm wegbewegt und der Planet Alpha sich auf ihn zubewegt.

Bei der Herleitung der Zeitdilatation hast Du gelernt, dass eine Zeitspanne für irgendeinen Vorgang unterschiedlich gemessen wird, je nach dem, in welchem Inertialsystem man ist. Deshalb bist Du vorsichtig und schreibst für die Zeitspanne, die aus Sicht des ruhenden Raumschiffs (Käpt'ns Sicht) für die Flug gebraucht wurde, nicht \( \Delta t_E \), sondern \( \Delta t_R \), um die Zeitspanne, die aus Sicht ruhender Erde vergangen ist, zu unterscheiden.

Bisjetzt hast Du also zwei Gleichungen für die Strecken, die aus zwei unterschiedlichen Inertialsystemen gemessen wurden. Aus Sicht der ruhenden Erde: 1 \[ s_E ~=~ v \, \Delta t_E \] und aus Sicht des ruhenden Raumschiffs: 2 \[ s_R ~=~ v \, \Delta t_R \]

Wenn Du Zeitdilatation verstanden hast, dann weißt Du, dass aus Sicht der Erde im bewegten Raumschiff die Zeit langsamer vergeht. Ausgedrückt mit der Formel für Zeitdilatation: 3 \[ \Delta t_E ~=~ \gamma \, \Delta t_R \] (Hinweis: Nach dem Relativitätsprinzip können die beiden Zeitspannen vertauscht werden; am Ergebnis wird sich nicht viel ändern...)

Setze 3 in 1 ein: 4 \[ s_E ~=~ v \, \gamma \, \Delta t_R \]

Jetzt musst Du nur noch \( \Delta t_R \) mit 2 ersetzen, um eine Beziehung zwischen den beiden Strecken \( s_R \) und \( s_E \) zu erhalten: 5 \[ s_E ~=~ v \, \gamma \, \frac{s_R}{v} \] Kürze Geschwindigkeit weg und stelle die Gleichung nach \(s_R\) um. Dann bekommst Du:

Formel: Längenkontraktion \[ s_R ~=~ \frac{1}{\gamma} \, s_E ~=~ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} \, s_E \]
Mehr zur Formel
  • Strecke \( \Delta s_{R} \): zwischen Erde und Alpha, aus Sicht des ruhenden Raumschiffs.
  • Länge \( \Delta s_{E} \): zwischen Erde und Alpha, aus Sicht des ruhenden Erde.
  • Relativgeschwindigkeit \( v \): ist die Geschwindigkeit, mit der das Raumschiff relativ zur Erde fliegt.
  • Lichtgeschwindigkeit \( c \): eine Konstante und hat den Wert im Vakuum \( 299 \, 792 \, 458 \, \frac{ \text m}{\text s} \).
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