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Alexander Fufaev

Zeitdilatation: mittels einer Lichtuhr

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Die Zeitdilatation lässt sich einfach mithilfe einer Lichtuhr herleiten. Sie besteht grundsätzlich aus zwei Spiegeln in einem festen Abstand \( L \) zueinander. Zwischen den beiden Spiegeln wird ein Photon (Lichtteilchen) hin und her reflektiert. Dieses Photon bewegt sich mit konstanter Lichtgeschwindigkeit \( c \).

Um die Zeitdehnung zu erfassen, musst Du die Lichtuhr aus zwei unterschiedlichen Blickwinkeln betrachten. Sprich: zwei unterschiedliche Inertialsysteme (unbeschleunigte Bezugssysteme) benutzen.

Lichtuhr: bewegt & unbewegt
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Lichtuhr: ein Photon wird zwischen zwei Spiegeln reflektiert und durchfliegt eine andere Strecke \( L' \) bei bewegter Lichtuhr als bei ruhender Lichtuhr.

Aus der einen Sicht siehst Du die Lichtuhr in Ruhe (Du bist jetzt der Ruhebeobachter). Dort pendelt das Photon senkrecht nach oben und nach unten - entlang der y-Achse. Von einem zum anderen Spiegel braucht es aus Sicht des Ruhebeobachters folgende Zeitspanne: 1 \[ \Delta t_{ruh} ~=~ \frac{L}{c} \] Für eine Periode (also einmal hin und zurück) braucht es dann dementsprechend die doppelte Zeit: \( T ~=~ 2\Delta t_{ruh} \). Index "ruh" soll andeuten, dass diese Zeitspanne des Hin- und Herpendelns vom Ruhebeobachter gemessen wird.

Nun wechselst Du in ein bewegtes Inertialsystem. Jetzt beobachtest Du etwas ganz anderes! Während das Photon von einem Spiegel zum anderen fliegt, bewegt sich die Lichtuhr in x-Richtung mit Relativgeschwindigkeit \( v \).

Aus der Sicht, in der sich die Lichtuhr bewegt, fliegt das Photon nicht geradeaus nach oben (wie bei ruhender Lichtuhr), sondern macht eine Zick-Zack-Bewegung. Die Strecke \( L' \), die das Photon von einem Spiegel zum anderen zurücklegt, ist aus der Sicht des bewegten Beobachters, LÄNGER.

Nach dem Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit hat das Photon auch die längere Strecke mit Lichtgeschwindigkeit zurückgelegt: 2 \[ L' ~=~ c \, \Delta t_{bew} \]

Da \( L' \) länger ist als \( L \), muss \( \Delta t_{bew} \) größer sein als \( \Delta t_{ruh} \): 3 \[ c \, \Delta t_{bew} ~\gt~ c \, \Delta t_{ruh} \]

Das Photon kommt aus Sicht des Systems, wo die Lichtuhr bewegt ist, etwas später beim anderen Spiegel an als im System, wo die Lichtuhr ruht. Es kommt nach der Zeit \( \Delta t_{bew} \) an und nicht nach \( \Delta t_{ruh} \).

Bewegte & ruhende Lichtuhr: rechtwinkliges Dreieck
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Bei ruhender und mit konstanter Geschwindigkeit v bewegter Uhr durchfliegt das pendelnde Photon eine andere Strecke. Bei bewegter Lichtuhr ist die Strecke L' länger als bei ruhender (L).

Wie Du siehst, läuft in bewegten Bezugssystemen ein physikalischer Vorgang langsamer ab als im Ruhesystem. Die Frage ist jetzt: um wieviel langsamer? Fasst Du die Beobachtung, bei der die Lichtuhr ruht (\( c\, \Delta t_{ruh} \)) und die Beobachtung, bei der die Lichtuhr sich bewegt (\( c \, \Delta t_{bew} \), \( v \, \Delta t_{bew} \)) zusammen, dann bekommst Du ein rechtwinkliges Dreieck, welches Du mit dem Satz von Pythagoras verarzten kannst: 4 \[ (c \, \Delta t_{bew})^2 ~=~ (c \, \Delta t_{ruh})^2 ~+~ (v \, \Delta t_{bew})^2 \]

Gesucht ist die Zeit \( \Delta t_{bew} \), die das Photon bei bewegter Lichtuhr braucht, um den anderen Spiegel zu erreichen. Umstellen der Gleichung 4 nach \( \Delta t_{bew} \) ergibt: 5 \[ \Delta t_{bew}^2 ~=~ \Delta t_{ruh}^2 ~+~ \frac{v^2}{c^2} \, \Delta t_{bew}^2 \] 6 \[ \Delta t_{bew}^2 ~-~ \frac{v^2}{c^2} \, \Delta t_{bew}^2 ~=~ \Delta t_{ruh}^2 \] 7 \[ \Delta t_{bew}^2 (1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}) ~=~ \Delta t_{ruh}^2 \]

Formel: Zeitdilatation \[ \Delta t_{bew} ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} } \, \Delta t_{ruh} \]
Mehr zur Formel...
  • Zeit \( \Delta t_{ruh} \): die für den Ruhebeobachter verstrichen ist.
  • Relativgeschwindigkeit \( v \): ist die Geschwindigkeit, mit der der Ruhebeobachter das bewegte System fliegen sieht.
  • Lichtgeschwindigkeit \( c \): eine Konstante und hat den Wert im Vakuum \( 299 \, 792 \, 458 \, \frac{m}{s} \).
Lorentztransformation: Gamma-Faktor
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Der Gamma-Faktor wird erst bei hohen Relativgeschwindigkeit (nahe der Lichtgeschwindigkeit) sehr groß und damit wird die Zeitverlangsamung umso größer.

Der Faktor 8 \[ \frac{1}{\sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}}} \] wird als Gamma-Faktor \( \gamma \) bezeichnet und ist stets größer als 1.

Der Gamma-Faktor wird umso größer, je schneller sich die Lichtuhr relativ zum Beobachter bewegt (also mit steigendem \( v \)). Ein größerer Gamma-Faktor bedeutet eine noch mehr gedehnte Zeitspanne \( \Delta t_{bew} \). Bewegte (Licht)uhren gehen langsamer als ruhende (Licht)uhren. Die Verlangsamung ist umso größer, je schneller sich die bewegte Uhr bewegt.

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