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Alexander Fufaev

Zeitdilatation: mittels einer Lichtuhr

aus dem Bereich: Argumentationen
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Die Zeitdilatation lässt sich einfach mithilfe einer Lichtuhr herleiten. Sie besteht grundsätzlich aus zwei Spiegeln in einem festen Abstand \( L \) zueinander. Zwischen den beiden Spiegeln wird ein Photon (Lichtteilchen) hin und her reflektiert. Dieses Photon bewegt sich mit konstanter Lichtgeschwindigkeit \( c \).

Um die Zeitdehnung zu erfassen, musst Du die Lichtuhr aus zwei unterschiedlichen Blickwinkeln betrachten. Sprich: zwei unterschiedliche Inertialsysteme (unbeschleunigte Bezugssysteme) benutzen.

Lichtuhr: Relativitätstheorie (SRT) Speichern | Info
Je nach dem, ob sich die Lichtuhr bewegt oder nicht, legt das Photon die Strecke \(L\) bzw. eine größere Strecke \(L'\) innerhalb unterschiedlicher Zeit zurück.

Aus der einen Sicht siehst Du die Lichtuhr in Ruhe (Du bist jetzt der Ruhebeobachter). Dort pendelt das Photon senkrecht nach oben und nach unten - entlang der y-Achse. Von einem zum anderen Spiegel braucht es aus Sicht des Ruhebeobachters folgende Zeitspanne: 1 \[ \Delta t ~=~ \frac{L}{c} \] Für eine Periode (also einmal hin und zurück) braucht es dann dementsprechend die doppelte Zeit: \( T ~=~ 2\Delta t \).

Nun wechselst Du in ein bewegtes Inertialsystem. Jetzt beobachtest Du etwas ganz anderes! Während das Photon von einem Spiegel zum anderen fliegt, bewegt sich die Lichtuhr in x-Richtung mit Relativgeschwindigkeit \( v \).

Aus der Sicht, in der sich die Lichtuhr bewegt, fliegt das Photon nicht geradeaus nach oben (wie bei ruhender Lichtuhr), sondern macht eine Zick-Zack-Bewegung. Die Strecke \( L' \), die das Photon von einem Spiegel zum anderen zurücklegt, ist aus der Sicht des bewegten Beobachters, LÄNGER.

Nach dem Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit hat das Photon auch die längere Strecke mit Lichtgeschwindigkeit zurückgelegt: 2 \[ L' ~=~ c \, \Delta t' \]

Da \( L' \) länger ist als \( L \), muss \( \Delta t' \) größer sein als \( \Delta t \): 3 \[ c \, \Delta t' ~\gt~ c \, \Delta t \]

Das Photon kommt aus Sicht des Systems, wo die Lichtuhr bewegt ist, etwas später beim anderen Spiegel an als im System, wo die Lichtuhr ruht. Es kommt nach der Zeit \( \Delta t' \) an und nicht nach \( \Delta t \).

Bewegte & ruhende Lichtuhr: rechtwinkliges Dreieck Speichern | Info
Bei ruhender und mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) bewegter Uhr durchfliegt das pendelnde Photon eine andere Strecke. Bei bewegter Lichtuhr ist die Strecke \(L'\) länger als bei ruhender Strecke \(L\).

Wie Du siehst, läuft in bewegten Bezugssystemen ein physikalischer Vorgang langsamer ab als im Ruhesystem. Die Frage ist jetzt: um wieviel langsamer? Fasst Du die Beobachtung, bei der die Lichtuhr ruht (\( c\, \Delta t \)) und die Beobachtung, bei der die Lichtuhr sich bewegt (\( c \, \Delta t' \), \( v \, \Delta t' \)) zusammen, dann bekommst Du ein rechtwinkliges Dreieck, welches Du mit dem Satz von Pythagoras verarzten kannst: 4 \[ (c \, \Delta t')^2 ~=~ (c \, \Delta t)^2 ~+~ (v \, \Delta t')^2 \]

Gesucht ist die Zeit \( \Delta t' \), die das Photon bei bewegter Lichtuhr braucht, um den anderen Spiegel zu erreichen. Umstellen der Gleichung 4 nach \( \Delta t' \) ergibt: 5 \[ \Delta t'^2 ~=~ \Delta t^2 ~+~ \frac{v^2}{c^2} \, \Delta t'^2 \] 6 \[ \Delta t'^2 ~-~ \frac{v^2}{c^2} \, \Delta t'^2 ~=~ \Delta t^2 \] 7 \[ \Delta t'^2 (1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}) ~=~ \Delta t^2 \]

Formel: Zeitdilatation \[ \Delta t' ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} } \, \Delta t \]
Mehr zur Formel...
  • Zeit \( \Delta t \): die für den Ruhebeobachter verstrichen ist.
  • Relativgeschwindigkeit \( v \): ist die Geschwindigkeit, mit der der Ruhebeobachter das bewegte System fliegen sieht.
  • Lichtgeschwindigkeit \( c \): eine Konstante und hat den Wert im Vakuum \( 299 \, 792 \, 458 \, \frac{m}{s} \).
Lorentztransformation: Gamma-Faktor
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Der Gamma-Faktor wird erst bei hohen Relativgeschwindigkeit (nahe der Lichtgeschwindigkeit) sehr groß und damit wird die Zeitverlangsamung umso größer.

Der Faktor 8 \[ \frac{1}{\sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}}} \] wird als Gamma-Faktor \( \gamma \) bezeichnet und ist stets größer als 1.

Der Gamma-Faktor wird umso größer, je schneller sich die Lichtuhr relativ zum Beobachter bewegt (also mit steigendem \( v \)). Ein größerer Gamma-Faktor bedeutet eine noch mehr gedehnte Zeitspanne \( \Delta t' \). Bewegte (Licht)uhren gehen langsamer als ruhende (Licht)uhren. Die Verlangsamung ist umso größer, je schneller sich die bewegte Uhr bewegt.

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