1. Welt
  2. Argumentationen
  3. #1365
Alexander Fufaev

Magnetfeld - Helmholtz-Spule

aus dem Bereich: Argumentationen
Optionen
Helmholtz-Spule Speichern | Info
Helmholtz-Spule

Das Ziel ist es das Magnetfeld \(B\) entlang der Symmetrieachse zu berechnen. Dazu wird eine Helmholtz-Spule mit dem Radius \(R\), mit \(N\) Windungen und mit dem Abstand \(d\) in ein Koordinatensystem so gelegt, dass der Koordinatenursprung in der Mitte der Helmholtz-Spule liegt. Die eine Spule liegt dann bei \(z = d/2\) un die andere Spule bei \(z=-d/2\).

Beide Spulen der Helmholtz-Spule werden von einem elektrischen Strom \(I\) durchflossen. Im Folgenden wird sowohl der Fall betrachtet, bei dem die beiden Ströme in die gleiche als auch in die entgegengesetzte Richtung fließen.

Das Magnetfeld eines beliebig geformten stromdurchflossenen Drahts kann mithilfe des Biot-Savart-Gesetzes berechnet werden.

Biot-Savart-Gesetz 1 \[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \]

Da es sich hier um zwei Spulen handelt, wird das Integral 1 in zwei Beiträge aufgeteilt, die jeweils eine Spule verarzten: 2 \[ \boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S_1} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \] \[ \boldsymbol{B}_2(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S_2} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \] mit \(S = S_1 + S_2\).

Da das Magnetfeld entlang der Symmetrieachse gesucht ist, ist der Ortsvektor \( \boldsymbol{r} \) zum Ort an dem das Magnetfeld berechnet werden soll: 3 \[ \boldsymbol{r} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z\end{array}\right) \]

Das infinitesimale Leiterelement \( \text{d}\boldsymbol{s} \) verläuft bei beiden Spulen im Abstand \(R\) von der \(z\)-Achse. Die Integration der Leiterelemente passiert in Zylinderkoordinaten entlang der \(\varphi\)-Koordinate: 4 \[ \text{d}\boldsymbol{s} = \boldsymbol{\hat{\varphi}} \, R \, \text{d}\varphi \] hierbei ist \(\boldsymbol{\hat{\varphi}}\) der Einheitsvektor in \(\varphi\)-Richtung in Zylinderkoordinaten, also im Kreis um die Spule herum.

Spule bei \(z=d/2\)
Der Ortsvektor \( \boldsymbol{R} \) zum Leiterelement lautet in Zylinderkoordinaten: 5 \[ \boldsymbol{R} = \left(\begin{array}{c} R \, \cos(\varphi) \\ R \, \sin(\varphi) \\ d/2\end{array}\right) \]

Dann ist der Verbindungsvektor mit 2 und 4: 6 \[ \boldsymbol{r} - \boldsymbol{R} = \left(\begin{array}{c} -R \, \cos(\varphi) \\ -R \, \sin(\varphi) \\ z-d/2\end{array}\right) \]

Und der Betrag \(|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}|\) des Verbindungsvektors zur dritten Potenz ist: 7 \[ |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}|^3 = \left( R^2 \, \cos(\varphi)^2 + R^2 \, \sin(\varphi)^2 + (z-d/2)^2 \right)^{3/2} = \left( R^2 + (z-d/2)^2 \right)^{3/2} \]

Das Kreuzprodukt zwischen dem Verbindungsvektor und dem Leiterelement wird mithilfe von 6 und 4 berechnet: 8 \[ (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}) \times \text{d}\boldsymbol{s} = \left(\begin{array}{c} -R \, \cos(\varphi) \\ -R \, \sin(\varphi) \\ z-d/2\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} -\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \\ 0 \end{array}\right) \, R \, \text{d}\varphi \]

Das Berechnen des Kreuzprodukts 8 ergibt: 9 \[ (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}) \times \text{d}\boldsymbol{s} = -R \left(\begin{array}{c} (z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ R \end{array}\right) \, \text{d}\varphi \]

Die Integration von 9 entlang der \(\varphi\)-Koordinate im Kreis, also von 0 bis \(2\pi\): 10 \[ \int_{0}^{2\pi}-R \left(\begin{array}{c} (z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ R \end{array}\right) \, \text{d}\varphi = -R \left[ \left(\begin{array}{c} (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ -(z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ R \, \varphi \end{array}\right) \right]^{2\pi}_0 \]

Einsetzen der Integrationsgrenzen in 10: 11 \[ -R \left[ \left(\begin{array}{c} (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ -(z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ R \, \varphi \end{array}\right) \right]^{2\pi}_0 = -R \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2\pi \, R \end{array}\right) = - 2\pi \, R^2 \, \boldsymbol{\hat{z}} \] hierbei ist \(\boldsymbol{\hat{z}}\) der Einheitsvektor in \(z\)-Richtung.

Das Einsetzen des Betrags 7 des Verbinungsvektors sowie das berechnete Integral 11 in das Biot-Savart-Gesetz 2 ergibt: 12 \[ \boldsymbol{B}_1(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2}{2} \, \left( (z+d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} \, \boldsymbol{\hat{z}} \]

Da der Strom nicht einmal, sondern \(N\)-mal die Spule durchläuft, ist das Magnetfeld \(N\)-mal so groß: 13 \[ \boldsymbol{B}_1(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left( (z+d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} \, \boldsymbol{\hat{z}} \]

Spule bei \(z=-d/2\)
Der Ortsvektor \( \boldsymbol{R} \) zum Leiterelement dieser Spule lautet in Zylinderkoordinaten: 14 \[ \boldsymbol{R} = \left(\begin{array}{c} R \, \cos(\varphi) \\ R \, \sin(\varphi) \\ -d/2\end{array}\right) \] also genauso wie bei der anderen Spule, nur mit einem Minuszeichen in der dritten Komponente. Das einzige, was sich lediglich am Ergebnis für \(\boldsymbol{B}_2\) ändert, ist, dass \((z+d/2)\) zu \((z-d/2)\) wird: 15 \[ \boldsymbol{B}_2(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left( (z-d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} \, \boldsymbol{\hat{z}} \]

Magnetfeld entlang der z-Achse (gleiche Stromrichtung) - Helmholtz-Spule Speichern | Info
Magnetfeld entlang der z-Achse (gleiche Stromrichtung) - Helmholtz-Spule

Die Superposition, also die Addition der Einzelfelder 13 und 15 ergibt:

Magnetfeld (Symmetrieachse, gleiche Stromrichtung) - Helmholtz-Spule 16 \[ \boldsymbol{B}(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left[ \left( (z-d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} + \left( (z+d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} \right] \, \boldsymbol{\hat{z}} \]
Im Fall \(d=R\) wird das Magnetfeld im Inneren der Spule näherungsweise homogen.

Das Minuszeichen in 16 sagt lediglich aus, dass der Strom im Gegenuhrzeigersinn in den Spulen fließt.

Magnetfeld entlang der z-Achse (verschiedene Stromrichtung) - Helmholtz-Spule Speichern | Info
Magnetfeld entlang der z-Achse (entgegengesetzte Stromrichtung) - Helmholtz-Spule

Wenn der Strom in den beiden Spulen nicht in die gleiche Richtung fließt, sondern der eine im Uhrzeigersinn \(I\) und der andere gegen den Uhrzeigersinn \(-I\), dann wird 16 zu:

Magnetfeld (Symmetrieachse, entgegengesetzte Stromrichtung) - Helmholtz-Spule 17 \[ \boldsymbol{B}(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left[ \left( (z-d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} - \left( (z+d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} \right] \, \boldsymbol{\hat{z}} \]
Fließt der Strom in den Spulen in die entgegengesetzte Richtungen, dann ist das Magnetfeld in der Helmholtz-Spule linear.
Weltkarte
Verwalten
Profil
Die Stimme fragt...
Wie erlange ich den Zugang?

Um das Portal von Ak'tazun betreten zu können, musst Du die rote Pille schlucken. Nachdem Du durch das Portal gegangen bist, gelangst Du in die Matrix, wo Du beispielsweise folgendes tun kannst:

  • Inhalte hinzufügen & verwalten
  • Einige Inhalte kommentieren
  • Mittels Kommunikator RT2000 chatten
  • WhatsApp-Gruppe beitreten
Bist Du dabei?
Ja, bin dabei!
Portale in die anderen Welten

Reise zu den sicheren anderen Welten des Internets, um nach dem Wissen zu suchen. Findest Du eine Welt besonders interessant, dann kannst Du in der Universaldenkerwelt ein Portal zu dieser Welt erbauen, um den anderen Besuchern den schnellen Zugang dazu zu gewährleisten.

Portalraum betreten
Kommunikator
ONLINE 5
Gäste online: 5
Denker online: 0
Der Kommunikator RT2000 funktioniert nur innerhalb der Matrix!
Ich will in die Matrix!Mayday! Kontakt aufnehmen.