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Alexander Fufaev

Wienfilter (Geschwindigkeitsfilter)

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Wienfilter: schematischer Aufbau Speichern | Info
Grundsätzlicher Aufbau eines Geschwindigkeitsfilters: Plattenkondensator im Magnetfeld und eine Teilchenkanone.

Im Folgenden wird ein Wienfilter (Geschwindigkeitsfilter) betrachtet, der nur Teilchen mit bestimmter Geschwindigkeit durch eine Lochblende durchlässt. Ein einfacher Geschwindigkeitsfilter braucht ein homogenes elektrisches Feld \(E_{\text z}\), welches beispielsweise durch einen Plattenkondensator erzeugt werden kann. Zwischen den beiden Kondensatorplatten ist nämlich so ein homogenes elektrisches Feld vorhanden.

Neben dem E-Feld wird noch ein Magnetfeld \(B_{\text y}\) gebraucht, welches einfachheitshalber genau senkrecht zun den Feldlinien des elektrischen Feldes verläuft.

Die Ausdehnung einer Kondensatorplatte beträgt \(L\) und an einem Ende des Kondensators befindet sich eine Abdeckung mit einem kleinen Loch der Breite \(b\). Durch dieses Loch werden die betrachteten Ladungsträger hindurchwandern. Der Abstand der beiden Platten beträgt \(d\), sodass das elektrische Feld mit der Spannung \(U_{\text z}\) zwischen den Kondensatorplatten folgendermaßen ausgedrückt werden kann:

Elektrisches Feld im Plattenkondensator 1 \[ E_{\text z} = -\frac{U_{\text z}}{d} \]

Für die weiteren Überlegungen wird die Richtung des E-Feldes so gewählt, dass dieser in einem gewählten Koordinatensystem in die negative \(\text z\)-Richtung zeigt (deshalb der Index "\(\text z\)" und das Minuszeichen).

Die elektrische Kraft, die auf einen Ladungsträger mit der Ladung \(q\) im Plattenkondensator wirkt, ergibt sich durch die Multiplikation der Gleichung 1 mit \(q\):

Kraft auf einen Ladungsträger im Plattenkondensator 2 \[ F_{\text E} = - q \, \frac{U_{\text z}}{d} \]

Diese Kraft kann den positiv geladenen Ladungsträger zur negativen Platte hin beschleunigen. Dies passiert für positive Ladungen genau in Richtung des elektrischen Feldes, in diesem Fall also in die negative z-Richtung (deshalb das Minuszeichen).

Die magnetische Kraft auf einen mit der Geschwindigkeit \(v_{\text x}\) in x-Richtung bewegten Ladungsträger mit der Ladung \(q\), in einem senkrecht anliegenden Magnetfeld, ist gegeben durch:

Magnetische Kraft auf eine bewegte Ladung 3 \[ F_{\text M} = q \, v_{\text x} \, B_{\text y} \]

Die Richtung vom Magnetfeld \(B_{\text y}\) wird so gewählt, dass die magnetische Kraft 3 genau in die positive z-Richtung wirkt, damit die beiden Kräfte 2 und 3 genau entgegengesetzt auf den Ladungsträger wirken, der sich in die positive x-Richtung bewegt. Dazu muss das Magnetfeld in den Bildschirm hineinzeigen, was der positiven y-Richtung entspricht. Durch die Festlegung der Magnetfeldrichtung (y) und der Geschwindigkeitsrichtung (x), ist die magnetische Kraftrichtung (z) dann durch die Drei-Finger-Regel (rechte Hand) festgelegt.

Damit also ein Ladungsträger den Plattenkondensator, in dem ein elektrisches und magnetisches Feld herrscht, perfekt geradeaus durchfliegen kann, müssen die beiden auf den Ladungsträger wirkenden Kräfe 2 und 3 sich genau gegenseitig aufheben, also vom gleichen Betrag und entgegengesetzter Richtung sein. Durch die Wahl einer positiven Ladung, der elektrischen Feldrichtung (Polarität der Spannungsquelle) (-y), der Magnetfeldrichtung (z) und der Geschwindigkeitsrichtung (x) ist die Situation mit den entgegenwirkenden Kräfte gewährleistet.

Die Gesamtkraft \(F\), die auf den Ladungsträger wirkt, ist die Summe der elektrischen und magnetischen Kraft: 4 \[ F ~=~ - q \, \frac{U_{\text z}}{d} ~+~ q \, v_{\text x} \, B_{\text y} \] Damit der Ladungsträger den Plattenkondensator, in dem sowohl ein E-Feld als auch ein B-Feld herrschen, ohne Ablenkung (d.h. perfekt geradeaus) durchfliegen kann, muss die Gesamtkraft natürlich Null sein (sonst wird der Ladungsträger ja abgelenkt): 5 \[ 0 ~=~ - q \, \frac{U_{\text z}}{d} ~+~ q \, v_{\text x} \, B_{\text y} \]

Anders formuliert, die beiden Kräfte müssen gleich sein: 6 \[ q \, \frac{U_{\text z}}{d} ~=~ q \, v_{\text x} \, B_{\text y} \]

Die Geschwindigkeit des Ladungsträgers, der auf der anderen Seite des Plattenkondensators ankommt und durch das Loch der Lochblende geht, ist gegeben durch das Umstellen der Gleichung 6:

7 \[ v_{\text x} = \frac{1}{d} \, \frac{U_{\text z}}{B_{\text y}} \]

Dies ist aber nur die Geschwindigkeit von Ladungsträgern, die unabgelenkt geradeaus fliegen und durch ein praktisch unendlich dünnes Loch gehen. Das Loch hat aber in der Realität eine endliche Ausdehnung \(b\). Das heißt, im eigentlichen Experiment, würden auch Ladungsträger durch das Loch schaffen, die ein bisschen abgelenkt wurden. Folglich haben sie eine andere Geschwindigkeit \( v_{\text{max}} = v_{\text x} + \Delta v \). Dabei ist \(\Delta v\) die maximale Abweichung von \(v_{\text x}\), sodass die maximale Geschwindigkeit der die Lochblende durchtretenden Ladungsträger \( v_{\text{max}} \) ist. Alle Geschwindigkeiten zwischen \(v_{\text x}\) und \( v_{\text{max}} \) passieren also die Lochblende. Im Folgenden wird \(\Delta v\) hergeleitet.

Nun wird ein Ladungsträger mit der positiven Ladung \( q \) ganz am Rand (bei \(x=0\)) zwischen den Kondensatorplatten platziert (in den Koordinatenursprung des gewählten Koordinatensystems). Um die Rechnung zu vereinfachen, wird die Geschwindigkeit \(v_{\text z}\) in z-Richtung zum Zeitpunkt \(t=0\) als Null gesetzt (Das ist die Zusatzgeschwindigkeit des Ladungsträgers aufgrund der Abelnkung entlang der z-Richtung). Dies ist die 1. Anfangsbedingung, die später in der Herleitung des Geschwindigkeitsintervalls gebraucht wird: 8 \[ v_{\text z}(t=0) = 0 \]

Außerdem wird das Koordinatensystem so gewählt, dass zum Zeitpunkt \(t=0\) die örtliche Ablenkung (von der geraden Bahn) in \(z\)-Richtung Null ist. Dies wird die 2. Anfangsbedingung sein: 9 \[ z(t=0) = 0 \]

Als nächstes muss geklärt werden, welche Gesamtkraft \(F\) ein Ladungsträger, der sich mit \( v_{\text{max}} \) bewegt, erfährt. Dazu wird einfach \( v_{\text{max}} \) statt nur \(v_{\text x}\) in 4 berücksichtigt: 10 \[ F ~=~ - q \, \frac{U_{\text z}}{d} ~+~ q \, (v_{\text x} + \Delta v) \, B_{\text y} \]

Einfaches Ausmultiplizieren der Gleichung 10 ergibt einen zusätzlichen Kraftbetrag (der als \(\Delta F\) bezeichnet wird) auf den Ladungsträger, der sich mit \( v_{\text{max}} \) bewegt: 11 \[ \Delta F ~=~ q \, \Delta v \, B_{\text y} \]

Da in 11 zwei Unbekannte sind (\(\Delta F\) und \(\Delta v\)) wird hier das 2. Newton-Axiom, also \(\Delta F = m \, a_{\text z} \) benutzt. Dabei ist \(m\) die Masse des Ladungsträgers und \(a_{\text z}\) die Beschleunigung durch die Felder im Plattenkondensator in z-Richtung. Es ergibt sich also die folgende Gleichung: 12 \[ m \, a_{\text z} ~=~ q \, \Delta v \, B_{\text y} \]

Um aus \(a_{\text z}\) die Geschwindigkeit \(v_{\text z}\) in z-Richtung zu bekommen, wird 12 über \(t\) integriert: 13 \[ \int m \, a_{\text z} \, \text{d}t ~=~ \int q \, \Delta v \, B_{\text y} \, \text{d}t \]

Da die Integranden auf beiden Seiten zeitunabhängig sind, wird das Integral einfach zu: 14 \[ m \, v_{\text z} ~=~ q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t + C_1 \]

Bei der Integration entehen hier natürlich zwei Integrationskonstanten, die zusammengefasst wurden zu \(C_1\). Diese Konstante wird durch Einsetzen der 1. Anfangsbedingung 5 eliminiert:\(C_1 =0\).

Leider ist \( v_{\text z} \) auch nicht bekannt, weshalb die Gleichung 14 nochmal über \(t\) integriert wird: 15 \[ \int m \, v_{\text z} \text{d}t ~=~ \int q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t \, \text{d}t \]

Das ergibt (inklusive Integrationskonstante \(C_2\)): 16 \[ m \, z ~=~ \frac{1}{2} \, q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t^2 + C_2 \] Durch die 2. Anfangsbedingung wird die Konstante eliminiert: \(C_2 = 0\).

Der Ort \(z\) des Ladungsträgers in z-Richtung ist zu jedem Zeitpunkt also durch folgende Bahnkurve bestimmt: 17 \[ z(t) ~=~ \frac{1}{2 m} \, q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t^2 \]

Nun ist bekannt, dass die Bewegung in z-Richtung durch die Lochblende eingeschränkt ist, d.h. der Ladungsträger kommt nur dann durch das Loch hindurch, wenn dieser maximal um \(b/2\) in z-Richtung abgelenkt wurde: \( z(t) \le b/2 \). Die maximale Geschwindigkeit \(v_{\text{max}}\) ergibt sich durch die maximale Ablenkung \( z(t) = b/2 \). Einsetzen in 17: 18 \[ \frac{b}{2} ~=~ \frac{1}{2 m} \, q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t^2 \]

Die Zeit \(t\), die der Ladungsträger braucht, um von dem einen Ende des Plattenkondensators bis zum anderen (also bis zur Lochblende) zu kommen, kann durch \( t \approx L/v \) angenähert werden, unter der Voraussetzung, dass \(\Delta v\) viel kleiner ist als \(v\). Einsetzen von \(t\) in 18 sowie Einsetzen von 7 für die Geschwindigkeit \(v\) und anschließendes Umstellen der Gleichung, ergibt die gesuchte Lösung für die Abweichung:

18 \[ |\Delta v| ~\approx~ \frac{m \, b}{q \, L^2 \, d^2} \, \frac{U_{\text z}^2}{B_{\text y}^3} \] (nur der Betrag ist hier relevant)

Damit können die Geschwindigkeit der austretenden Ladungsträger hinter der Lochblende der Breite \(b\) m Bereich zwischen \(v_{\text x}\) und 19 \[ v_{\text{max}} ~\approx~ v_{\text x} ~+~ \frac{m \, b}{q \, L^2 \, d^2} \, \frac{U_{\text z}^2}{B_{\text y}^3} \] liegen.

Falls das Loch praktisch unendlich klein ist, also (\(b \approx 0\)), dann vereinfacht sich 19 wie gewünscht zu: 20 \[ v_{\text{max}} ~=~ v_{\text x} \]

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