1. Welt
  2. Argumentationen
  3. #1072
Alexander Fufaev

Harmonischer Oszillator (quantenmechanisch, 1D) - algebraische Methode

aus dem Bereich: Argumentationen
Optionen

Unser Ziel ist es die Wellenfunktionen \( \Psi \) und die erlaubten Energieniveaus \( E \) von einem Teilchen (z.B. Elektron), welches sich in einem parabolischen Potential \( V \) (harmonisches Potential) befindet, herzuleiten. Und zwar nicht analytisch (d.h. mit der Brechstange), sondern algebraisch (d.h. raffiniert) mithilfe der sogenannten Auf- und Absteigeoperatoren.

Um die Wellenfunktionen \( \Psi \) herauszufinden, musst so wie immer die Schrödinger-Gleichung lösen, unter Beachtung des folgenden parabolischen Potentials: 1 \[ V(x) ~=~ \frac{m \, \omega^2}{2} \, x^2 \]

Da das Potential 1 zeitunabhängig ist, musst Du Dich lediglich mit der stationären (d.h. zeitunabhängigen) Schrödinger-Gleichung herumschlagen. Damit bekommst Du natürlich Wellenfunktionen heraus, die ebenfalls zeitunabhängig sind: 2 \[ \textbf{E} \, \Psi(x) ~=~ E \, \Psi(x) \]

In 2 ist \( \textbf{E} \) der Energie-Operator ("Hamiltonian"), der sich aus der kinetischen Energie und dem Potential 1 zusammensetzt: 3 \[ \textbf{E} ~=~ \frac{\textbf{p}^2}{2m} ~+~ \frac{m \, \omega^2}{2} \, \textbf{x}^2 \] und \( E \) (nicht fettgedruckt) ist die dazugehörige Energie (als Eigenwert der Eigenwertgleichung 2). Beachte hierbei, dass wir in 3 den klassischen Impuls \( p \) und Ort \( x \) durch die quantenmechanischen Operatoren \( \textbf{p} \) und \( \textbf{x} \) ersetzt haben.

Setze 3 in 2 ein, dann bekommst Du die zu lösende Schrödinger-Gleichung: 4 \[ \frac{\textbf{p}^2}{2m}\, \Psi(x) ~+~ \frac{m \, \omega^2}{2} \, \textbf{x}^2\, \Psi(x) ~=~ E\, \Psi(x) \]

Lass uns zuerst den Energieoperator 3 umschreiben, damit die Eigenwertgleichung 4 einfacher wird. Der Trick ist: Beim Energieoperator 3 den Energieterm auszuklammern, sodass dann steht: "Energie MAL dimensionsloser Faktor". Dazu müssen wir uns erstmal fragen, welche physikalischen Größen hier relevant sind. Ganz klar:

Daraus kannst Du die Dimension für \( [p^2] = [\hbar \, m \, \omega]\) und \( [x^2] = [\frac{\hbar}{m \, \omega}]\) zusammenbasteln. Daraus wiederum kannst Du die Energieskala \( [E_0] = [\hbar \, \omega] \), sowie Längenskala \( [x_0] = [\sqrt{\frac{2\hbar}{m \, \omega}}] \) und Impulsskala \( [p_0] = [\sqrt{2\hbar \, m \, \omega}] \). Außerdem werden wir später \( [p_0 \, x_0] = [2\hbar] \) brauchen.

Mit dieser Überlegung kannst Du den Energieoperator 3 folgendermaßen schreiben: 5 \[ \textbf{E} ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \frac{\textbf{p}^2}{p^2_0} ~+~ \frac{\textbf{x}^2}{x^2_0} \right) \]

Jetzt hast Du einen Ausdruck 5 bei dem die Energie ausgeklammert ist. Der Ausdruck in der Klammer ist dimensionslos und sieht so aus, als könnte man den faktorisieren. Beispiel: \(a^2 + b^2 = (a-\textbf{i}b)(a+\textbf{i}b)\). Leider sind \( \textbf{p} \) und \( \textbf{x} \) keine komplexen Zahlen wie im Beispiel, sondern Operatoren. Ob für sie die Faktorisierung auch funktioniert, musst Du erst überprüfen. Wir beginnen rückwärts: 6 \[ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) ~=~ \frac{\textbf{x}^2}{x^2_0} + \textbf{i}\frac{\textbf{x} \, \textbf{p}}{2\hbar} - \textbf{i}\frac{\textbf{p} \, \textbf{x}}{2\hbar} + \frac{\textbf{p}^2}{p^2_0} \]

Hierbei wurde \( \textbf{i}^2 = -1 \) und \( [p_0 \, x_0] = [2\hbar] \) verwendet. Beachte außerdem, dass Du die Operatoren \( \textbf{p} \) und \( \textbf{x} \) nicht einfach so untereinander vertauschen darfst! Du darfst sie nur vertauschen, wenn der Ort-Impuls-Kommutator \( [\textbf{x}, \textbf{p}] \) verschwindet. Da es sich aber in diesem Fall beim Kommutator von Impuls- und Ortsoperator handelt, wissen wir, dass er auf gar keinen Fall verschwindet, sondern folgenden Wert hat: 7 \[ [\textbf{x}, \textbf{p}] ~=~ \textbf{x}\,\textbf{p} - \textbf{p}\,\textbf{x} = \textbf{i}\hbar \]

Wenn Du in der Gleichung 6 den Ausdruck \( \textbf{i}\frac{1}{2\hbar} \) ausklammerst, dann wirst Du dort genau den Kommutator 7 wiederfinden. Setze also 7 in 6 ein: 8 \[ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) ~=~ \frac{\textbf{x}^2}{x^2_0} + \frac{\textbf{p}^2}{p^2_0} - \frac{1}{2} \]

Wie Du an 8 siehst, ergibt die Faktorisierung eine zusätzliche \( -\frac{1}{2} \). Setze nun 8 in 5 ein: 9 \[ \textbf{E} ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) ~+~ \frac{1}{2} \right) \]

Nun definieren wir den sogenannten Besetzungszahloperator: 10 \[ \textbf{n} ~:=~ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \]

Und wir definieren ebenfalls den sogenannten Aufsteigeoperator: 11 \[ \textbf{a}^{\dagger} ~:=~ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \]

Und sogenannten Absteigeoperator: 12 \[ \textbf{a} ~:=~ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \]

Warum sie so heißen, wird Dir klar, wenn wir bei den erlaubten Energieniveaus angekommen sind. Kürze also 9 mit der Definition 10 ab: 13 \[ \textbf{E} ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \textbf{n} ~+~ \frac{1}{2} \right) \]

Damit ist das Eigenwertproblem 2 auf das Finden der Eigenwerte von \( \textbf{n} \) reduziert.

Sei nun \( \Psi_n \) Eigenfunktion zum Eigenwert \( n \), das heißt: 14 \[ \textbf{n} \, \Psi_n ~=~ n \, \Psi_n \]

Kann der Eigenwert \( n \) negativ sein? Nein, denn wegen: 14.2 \[ \int \Psi^*_n \, \textbf{n} \, \Psi_n \, \text{d}x ~=~ \int \Psi^*_n \, \textbf{a}^{\dagger}\textbf{a} \, \Psi_n \, \text{d}x ~=~ \int \textbf{a}\, \Psi^*_n ~ \textbf{a} \, \Psi_n \, \text{d}x \geq 0 \] muss das folgende Integral (und damit auch \( n \)) ebenfalls positiv sein: 14.2 \[ \int \Psi^*_n \, \textbf{n} \, \Psi_n \, \text{d}x ~=~ n \int \Psi^*_n \, \Psi_n \, \text{d}x ~\geq~ 0 \] Der kleinsmögliche Eigenwert \( n \) des Besetzungszahloperators \( \textbf{n} \) ist \( n = 0 \).

Wenn Du den Aufsteigeoperator \( \textbf{a}^{\dagger} \) auf \( \Psi_n \) anwendest, bekommst Du die Eigenfunktion \( \Psi_{n+1} \) zum Eigenwert \( n + 1 \). Das ist richtig, denn: 15 \[ \textbf{n} \Psi_{n+1} ~=~ \textbf{n} \, \textbf{a}^{\dagger} \Psi_n ~=~ \left( [\textbf{n} \, \textbf{a}^{\dagger}] ~+~ \textbf{a}^{\dagger} \, \textbf{n} \right) \Psi_n ~=~ \textbf{a}^{\dagger} \Psi_n ~+~ \textbf{a}^{\dagger} \, \textbf{n} \Psi_n ~=~ (n+1) \, \textbf{a}^{\dagger} \Psi_n ~=~ (n+1) \Psi_{n+1} \]

Hierbei wurden die Kommutatorrelationen \( [\textbf{n} \, \textbf{a}^{\dagger}] = \textbf{a}^{\dagger} \) und \( [\textbf{n} \, \textbf{a}] = -\textbf{a} \).

Man kann auch analog zeigen, dass \( \textbf{a} \Psi_n \) die Eigenfunktion zum Eigenwert \(n-1\) ist. Logischerweise kommst Du irgendwann beim Eigenwert \( n = 0 \) an, wenn Du nacheinander den Absteigeoperator \( \textbf{a} \) anwendest; denn negative \( n \) gibt es ja nicht. Die Eigenfunktion \( \Psi_0 \) zum Eigenwert \( n = 0 \) nennen wir Grundzustandswellenfunktion.

Ohne die Differentialgleichung 4 lösen zu müssen, kannst Du mit dem obigen Wissen ganz einfach die Grundzustandsenergie herausfinden. Bedenke, dass eine Anwendung des Absteigeoperators auf die Grundzustandswellenfunktion Null ergibt, weil kleiner als \( n = 0 \) gibts nicht: 16 \[ \textbf{n} \Psi_{0} ~=~ \textbf{a}^{\dagger} \, \textbf{a} \Psi_0 ~=~ \textbf{a}^{\dagger} \cdot 0 ~=~ 0 \]

Mithilfe von 13 und 16 lautet die Eigenwertgleichung: 17 \[ \textbf{E} \, \Psi_0 ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \textbf{n} + \frac{1}{2} \right) \Psi_0 ~=~ \hbar \, \omega \, \left( 0 + \frac{1}{2} \right) \Psi_0 ~=~ \frac{1}{2} \hbar \, \omega \Psi_0 \]

Damit ist der Eigenwert von \( \Psi_0 \), also die Grundzustandsenergie: 18 \[ E_0 ~=~ \frac{1}{2} \hbar \, \omega \]

Analog bekommst Du den ersten angeregten Energiezustand \( E_1 \) durch Ablesen des Eigenwerts der folgenden Eigenwertgleichung: 19 \[ \textbf{E} \, \Psi_1 ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \textbf{n} + \frac{1}{2} \right) \Psi_1 ~=~ \hbar \, \omega \, \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \Psi_1 ~=~ \frac{3}{2} \hbar \, \omega \Psi_1 \]

Energien - harmonischer Oszillator Speichern | Info
Beispielhaft eingezeichnete äquidistante diskrete Energieniveaus des harmonischen Oszillators.

Allgemein bekommst Du einen beliebigen Energiezustand \( E_n \) (Eigenwert) durch die Anwendung des Aufsteigeoperators wie in 16:

Energien - harmonischer Oszillator 20 \[ E_n ~=~ \hbar \, \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \]

Nun musst Du noch die konkreten Wellenfunktionen \( \Psi_n \) herausfinden. Es reicht beispielsweise die Grundzustandswellenfunktion \( \Psi_0 \) zu bestimmen, um daraus mithilfe des Aufsteigeoperators all die anderen Wellenfunktionen zu berechnen.

Lass uns also \( \Psi_0 \) bestimmen. Durch Anwedung des Absteigeoperators \( \textbf{a} \) auf \( \Psi_0 \) bekommst Du natürlich: 21 \[ \textbf{a} \, \Psi_0 ~=~ 0 \]

Setze die Definition 12 von \( \textbf{a} \) in 21 ein: 22 \[ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \Psi_0 ~=~ 0 \]

Jetzt musst Du die Operatoren konkret einsetzen. Also der Ortsoperator ist die Ortskoordinate selbst \( \textbf{x} = x \) und der Impulsoperator ist \( \textbf{p} = \frac{\hbar}{\textbf{i}} \, \partial_x \) in Ortsdarstellung. Wenn Du das in 22 einsetzt, bekommst Du: 23 \[ \left( \frac{x}{x_0} ~+~ \frac{\hbar}{p_0} \partial_x \right) \Psi_0 ~=~ 0 \]

Multipliziere 23 mit \( \frac{p_0}{\hbar} \) und setze \( p_0 = \frac{2\hbar}{x_0} \) ein: 24 \[ \left( \frac{2}{x^2_0} \, x ~+~ \partial_x \right) \Psi_0 ~=~ 0 \]

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist die Gauß-Funktion: 25 \[ \Psi_0 ~=~ C_0 \, e^{-\frac{x^2}{x_0^2}} \]

Bestimme den Koeffizienten \( C_0 \) mithilfe der Normierungsbedingung und durch Einsetzen von 25: 26 \[ 1 ~=~ \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*_0 \, \Psi_0 \, \text{d}x ~=~ \int_{-\infty}^{\infty} C_0^2 \, e^{-\frac{2x^2}{x_0^2}} \, \text{d}x ~=~ C_0^2 \, \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, x_0 \]

Da es sich dabei um ein Gauß-Integral handelt, wurde die entsprechende, wohlbekannte Lösung benutzt. Stelle nur noch 26 nach \( C \) um und setze \( C \) in 25 ein, dann bekommst Du: 27 \[ \Psi_0 ~=~ \left( \frac{2}{\pi} \right)^{1/4} \, \left( \frac{1}{x_0} \right)^{1/2} \, e^{-\frac{x^2}{x_0^2}} \]

Benutze nur noch die Definition von \(x_0 = \sqrt{\frac{2\hbar}{m \, \omega}}\):

Normierte Grundzustandswellenfunktion 28 \[ \Psi_0 ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \]

Alle Wellenfunktionen bestimmen

Aus der Grundzustandswellenfunktion kannst Du weitere Zustände finden, in dem Du den Aufsteigeoperator \( \textbf{a}^{\dagger} \) auf \( \Psi_0 \) anwendest. Allgemein bekommst Du die \( n \)-te Wellenfunktion durch: 29 \[ \Psi_{n} ~=~ C_{n} \, \textbf{a}^{\dagger} \, \Psi_{n-1} \]

Wie findest Du \( \Psi_{n-1} \) heraus? Ganz einfach: Aufsteigeoperator auf \( \Psi_{n-2} \) anwenden: \( \Psi_{n-1} = C_{n-1}\textbf{a}^{\dagger} \Psi_{n-2} \). Achte immer darauf, die Normierungskonstanten \( C_0...C_n \) zu berücksichtigen. Jede einzelne Wellenfunktion muss für sich normiert werden! 29 wird damit also zu: 30 \[ \Psi_{n} ~=~ C_{n} \, \textbf{a}^{\dagger} \, C_{n-1} \, \textbf{a}^{\dagger} \Psi_{n-2} \]

Blöd. Jetzt steht da unbekanntes \( \Psi_{n-2} \). Wie findest Du das heraus? Na, so wie davor: Anwendung des Aufsteigeoperators auf \( \Psi_{n-3} \), also \( \Psi_{n-2} = C_{n-2} \textbf{a}^{\dagger} \Psi_{n-3} \). Dann wirst Du unbekanntes \( \Psi_{n-3} \) in der Gleichung haben. Du machst das gleiche Prozedere solange, bis Du bei \( \Psi_0 \) ankommst. Warum? Weil Du in 28 \( \Psi_0 \) kennst! Wenn Du das also machst, dann bekommst Du: 31 \[ \Psi_{n} ~=~ C_{n} \, \textbf{a}^{\dagger} \, C_{n-1} \, \textbf{a}^{\dagger} \, C_{n-2} \, \textbf{a}^{\dagger} ~...~ C_{1} \, \textbf{a}^{\dagger} \Psi_0 \]

Die ganzen Koeffizienten kannst Du nach vorne bringen und alle Aufsteigeoperatoren, die nun auf \( \Psi_0 \) wirken, zusammenfassen: 32 \[ \Psi_{n} ~=~ C_{n} \, C_{n-1} \, C_{n-2}... C_{1} \, \left(\textbf{a}^{\dagger}\right)^n \Psi_0 \]

Alle Koeffizienten bestimmen

Jetzt musst Du nur noch durch die Normierungsbedingung die Koeffizienten in 32 bestimmen. Du kannst alle Koeffizienten bestimmen, wenn Du beispielsweise \( \Psi_{n+1} = C_{n+1} \textbf{a}^{\dagger} \Psi_n \) normierst: 33 \[ \int \Psi^*_{n+1} \, \Psi_{n+1} \, \text{d}x ~\stackrel{!}{=}~ 1 \] 34 \[ \int \left( C_{n+1} \, \textbf{a}^{\dagger} \Psi_n\right)^* \, C_{n+1} \, \textbf{a}^{\dagger} \Psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \] 35 \[ C_{n+1}^2 \int \Psi_n^* \, \textbf{a} \, \textbf{a}^{\dagger} \Psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \] 36 \[ C_{n+1}^2 \int \Psi_n^* \, \left( \textbf{a}^{\dagger}\textbf{a} + \left[\textbf{a},\textbf{a}^{\dagger}\right] \right) \, \Psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \] 37 \[ C_{n+1}^2 \int \Psi_n^* \, \left( \textbf{n} + 1 \right) \, \Psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \] 38 \[ C_{n+1}^2 \int \Psi_n^* \, \textbf{n} \, \Psi_n \, \text{d}x ~+~ C_{n+1}^2 \int \Psi_n^* \, \Psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \] 39 \[ C_{n+1}^2 \, (n+1) \, \int \Psi_n^* \, \Psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \] 40 \[ C_{n+1}^2 \, (n+1) ~=~ 1 \] 41 \[ C_{n+1} ~=~ \frac{1}{\sqrt{n+1}} \]

Mit 41 hast allgemein alle Koeffizienten - für jedes \( n \) - bestimmt. Setze 41 in 32 ein und fasse anschließend alle Koeffizienten zu \( 1/\sqrt{n!} \) zusammen: 42 \[ \Psi_{n} ~=~ \frac{1}{\sqrt{n!}} \, \left(\textbf{a}^{\dagger}\right)^n \Psi_0 \]

Setze nur noch den Aufsteigeoperator 11, sowie die Grundzustandswellenfunktion 28 in 42 ein: 43 \[ \Psi_{n} ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{n!}} \, \left( \frac{x}{x_0} ~-~ \frac{\hbar}{p_0} \, \partial_x \right)^n \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \] hierbei wurden auch die Operatoren \( \textbf{x} = x \) und \( \textbf{p} = \frac{\hbar}{i} \partial_x \) eingesetzt. Setze außerdem \( x_0 = \sqrt{\frac{2\hbar}{m \, \omega}} \) und \( p_0 = \sqrt{2\hbar \, m \, \omega} \) ein und bestimme damit die Wellenfunktion für ein beliebiges \( n \):

Wellenfunktionen - harmonischer Oszillator Speichern | Info
Die ersten vier Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators.
Normierte Wellenfunktionen - harmonischer Oszillator (1D) 44 \[ \Psi_{n}(x) ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{ 2^n \, n!}} \, \left( \sqrt{\frac{m \, \omega}{\hbar}} \, x ~-~ \sqrt{\frac{\hbar}{m \, \omega}} \, \partial_x \right)^n \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \]

Hierbei wurde zur "Verschönerung" \( \sqrt{2}^n \) ausgeklammert. Wenn Du willst, kannst Du 44 mittels Hermite-Polynomen \( H_n(y) \) umschreiben: 45 \[ \Psi_{n}(x) ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{ 2^n \, n!}} \, H_n(y) \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \] mit \( y := \sqrt{\frac{m \, \omega}{\hbar}} \, x \). Und der Index \( n \) in \( H_n(y) \) steht für \(n\)-tes Hermite-Polynom.

Weltkarte
Verwalten
Profil
Die Stimme fragt...
Wie erlange ich den Zugang?

Um das Portal von Ak'tazun betreten zu können, musst Du die rote Pille schlucken. Nachdem Du durch das Portal gegangen bist, gelangst Du in die Matrix, wo Du beispielsweise folgendes tun kannst:

  • Inhalte hinzufügen & verwalten
  • Einige Inhalte kommentieren
  • Mittels Kommunikator RT2000 chatten
  • WhatsApp-Gruppe beitreten
Bist Du dabei?
Ja, bin dabei!
Portale in die anderen Welten

Reise zu den sicheren anderen Welten des Internets, um nach dem Wissen zu suchen. Findest Du eine Welt ("Internetseite" :D) besonders interessant, dann kannst Du in der Universaldenkerwelt ein Portal zu dieser Welt erbauen, um den anderen Besuchern den schnellen Zugang dazu zu gewährleisten.

Portalraum betreten
Kommunikator
ONLINE 4
Gäste online: 4
Denker online: 0
Der Kommunikator RT2000 funktioniert nur innerhalb der Matrix!
Ich will in die Matrix!Mayday! Kontakt aufnehmen.