Physikalische Dimensionsreduzierung | Warum die Welt 2D ist

Hier wird anhand einer philosophischen Interpretation, dass die Welt sich auf 2 Dimensionen reduzieren lässt - Dimensionsreduzierung experimentell hergeleitet.

In meinen philosophischen Überlegungen zur visuellen Wahrnehmung, kam ich zu dem Schluss, dass dreidimensionale Wahrnehmung sich auf zwei Dimensionen reduzieren lässt; sprich: das vom Menschen beobachtbare Universum für seine Existenz keine Dimension der Tiefe braucht. Auf diese Annahme kam ich indem ich 3D-Wahrnehmung als erfahrungsgekoppelt interpretierte. Dabei wird Dimension der Tiefe zu einer Skalierung zweier übriger Dimensionen.

Skalierung - ist eine Größenänderung des betrachteten Objekts bei Änderung seines Abstandes zum Betrachter.

Selbst, wenn die uns umgebende Welt in Wirklichkeit nicht zweidimensional sein sollte, kann diese Interpretation des Beobachteten als ein Hilfswerkzeug betrachtet werden, denn Translation eines Objektes entlang dritter Dimension, verursacht eine Skalierung des Objektes entlang zweier übriger Dimensionen. Das Objekt wird entweder kleiner oder größer. Was wir dabei mathematisch betrachten müssen, ist eine Funktion, die einen dreidimensionalen Vektor (mit einer variablen und zwei konstanten Komponenten) auf einen zweidimensionalen Vektor mit zwei konstanten Komponenten abbildet: \( f: \left(C_{x},y,C_{z}\right) \mapsto \left(C_{x},C_{z}\right) \). Aus zweidimensionaler Wahrnehmung jedoch, können konstant gehaltene Komponenten \(C_{x}\) und \( C_{z} \) nicht mehr als konstant betrachtet werden, da eine Translation entlang der variablen Komponente \( y \) (Dimension der Tiefe - was dem Abstand entspricht), eine Skalierung der konstanten Komponenten verursacht, was leicht nachzuvollziehen ist, wenn du ein Objekt auf deine Augen zu bewegst oder es von ihnen entfernst und dabei das Koordinatensystem oder ein Lineal unbewegt lässt.

\[ f: \left(C_{x},y,C_{z}\right) \mapsto \left(x,z\right) \]

Die Aufgabe besteht nun darin, experimentell die Möglichkeit zu finden, einen Vektor - physikalisch - um die Dimension der Tiefe (y-Komponente) zu reduzieren und diese Reduktion in übrigen Komponenten festzuhalten, sodass eine Umrechnung hin und her möglich ist. Dabei müssen folgende Werte in Betracht gezogen werden:

  • Abstand vom Auge (oder Messgerät) bis zum betrachteten Objekt - \(y \)
  • Verschiebung des Objekts entlang der zu reduzierenden Komponente (Dimension der Tiefe) - \( \Delta{y} \)
  • Konstante Abmessungen des betrachteten Objekts - \( C_{x} \) und \(C_{z}\) (oder allgemein - Länge: \(l\)). Eine Abmessung ist nur dann konstant, wenn das Messgerät (in meinem Fall - Lineal) und das zu bemessende Objekt in einem näherungsweise gleichen Abstand zueinander sind.
  • Durch die \(\Delta{y}\)-Verschiebung sich veränderten \( C_{x} \)- und \(C_{z}\)-Abmessungen, die nun den neuen Abmessungen \(x\) und \(z\) eines - einfachheitshalber - rechteckigen Objekts entsprechen.

Experiment-Skizze zur 2D-Wahrnehmung
Versuchsaufbau: Skizze

(Setzen wir zuerst voraus, dass Messgerät und betrachtetes Objekt näherungsweise auf einer Linie sind, d.h. sie sind bei \(\left( 0,y,0\right)\) zu platzieren. Da dies physikalisch - aufgrund der Ausdehnung der Objekte in die z- und x-Richtung - nicht möglich ist, sind die unten folgenden Messwerte nur als eine Näherung zu betrachten.)

Um zu untersuchen, wie sich eine Länge bei \(\Delta{y}\)-Verschiebung verändert, habe ich dazu verschiedene Längen von rechteckigen Objekten bei Variation der \(\Delta{y}\)-Verschiebung untersucht und als Messgerät eine Kamera im Abstand von \(y_{0}\approx{0,74m}\) von der ersten Bemessung des Objekts verwendet.

Messdaten

Da das Verhältnis von Länge und Höhe des Objekts bei dessen Skalierung (Ähnlichkeit von Rechtecken) stets konstant bleibt: \( \dfrac{C_{x}}{C_{z}} = \dfrac{x}{z} = const.\), schaute ich mir deshalb die Verhältnisse von ermittelten \(x\) und \(z\) an, um sicherzustellen, dass die Messfehler nicht allzu groß sind.

Änderung des Abstandes \(y\) um \(\Delta{y}\)
\(\Delta{y}\) in m \(y = y_{0}+\Delta{y}\) in m
0 0,74
0,33 1,07
0,55 1,62
0,25 1,87
0,72 2,59
0,39 2,98
Objekt 1: \(C_{x}=0,18m\) und \(C_{z}=0,23m\) mit \( \dfrac{0,18}{0,23} \approx 0,78\)
\(x\) \(z\)
0,11 0,138
0,077 0,098
0,052 0,066
0,044 0,057
0,032 0,042
0,028 0,036
Objekt 2: \(C_{x}=0,135m\) und \(C_{z}=0,19m\) mit \( \dfrac{0,135}{0,19} \approx 0,71\)
\(x\) \(z\)
0,08 0,11
0,056 0,077
0,038 0,053
0,033 0,046
0,024 0,034
0,021 0,03
Objekt 3: \(C_{x}=0,30m\) und \(C_{z}=0,312m\) mit \( \dfrac{0,30}{0,312} \approx 0,96\)
\(x\) \(z\)
- -
0,122 0,125
0,085 0,088
0,074 0,077
0,052 0,056
0,046 0,05
Objekt 4: \(C_{x}=0,11m\) und \(C_{z}=0,047m\) mit \( \dfrac{0,11}{0,047} \approx 2,34\)
\(x\) \(z\)
0,065 0,028
0,045 0,019
0,031 0,013
0,027 0,011
0,019 0,008
0,017 0,007

\(x\) und \(z\) maß ich am Bildschirm mit einem in das Videomaterial eingebauten Lineal. Ich wusste nicht wirklich, wie die Messung maßstabgetreu gemacht werden könnte. Alle Messungen habe ich in Meter umgerechnet.

Auswertung der Messdaten

Bei Auswertung am Graphen ist festzustellen, dass eine Potenzfunktion \(y(x) = ax^{-b}\) den Zusammenhang der Messwerte am besten beschreibt. Dabei habe ich folgende Funktionen für die jeweiligen Längen - auf vier Nachkommastellen gerundet - ermittelt:

Sich ändernde Länge in Abhängigkeit vom Abstand \(y\)
Betrachtete Länge Ermittelte Funktion
Objekt 1, \(x\) \(0,0822x^{-0,9859}\)
Objekt 1, \(z\) \(0,1041x^{-0,9614}\)
Objekt 2, \(x\) \(0,0600x^{-0,9593}\)
Objekt 2, \(z\) \(0,0827x^{-0,9315}\)
Objekt 3, \(x\) \(0,1328x^{-0,9666}\)
Objekt 3, \(z\) \(0,1344x^{-0,9057}\)
Objekt 4, \(x\) \(0,0486x^{-0,9655}\)
Objekt 4, \(z\) \(0,0206x^{-0,9922}\)

Dabei sind bei ermittelten Funktionen zwei Auffälligkeiten zu sehen:

  1. Der Exponent scheint nur aufgrund der Messfehler zu variieren, da überhaupt keine Abhängigkeit des Exponenten z.B. von der Länge \(l\) besteht. Annahme: Exponent sei konstant. Mittelwert: \(0,9585\). Die Funktionen sehen nun so aus: \(ax^{-0,9585}\)
  2. Konstante Abmessungen der Längen \(l\) sind abzulesen ungefähr bei \( \bar{y}=0,4301 \) ohne gemittelten Exponenten bzw. bei \( \bar{y}=0,4303 \) mit gemitteltem Exponenten.
    Abstand \( y \) fürs Ablesen der konstanten Abmessungen
    \( y \) in m \(l \) in m \( y \) in m und gemitt. Exp.
    0,4516 0,18 0,4414
    0,4384 0,23 0,4373
    0,4294 0,135 0,4291
    0,4094 0,19 0,4199
    0,4304 0,30 0,4273
    0,3974 0,31 0,4181
    0,4291 0,11 0,4265
    0,4550 0,045 0,4426

Annahme: Unabhängigkeit der Perspektive - Eine Betrachtung der minimal ausgedehnten Länge \(l\) in vertikaler oder horizontaler Lage, ändert nicht die ermittelte Potenzfunktion.

Bildet man die Umkehrfunktion \(y^{-1}(x)\), so erhält man die aktuellen Bemessungen des Objekts in Abhängigkeit vom Abstand \(y\) zum Auge bzw. Messgerät: \( x(y)=\left(\dfrac{y}{a}\right)^{-\dfrac{1}{0,9585}} \). Die Funktion zur Dimensionsreduzierung sieht nun folgendermaßen aus:

\[ f: \left(C_{x},y,C_{z}\right) \mapsto \left(x(y), z(y) \right), x(y)=\left(\dfrac{y}{a_{x}}\right)^{-\dfrac{1}{0,9585}}, z(y)=\left(\dfrac{y}{a_{z}}\right)^{-\dfrac{1}{0,9585}} {~mit~} y, a_{x}, a_{z} \in R \]

Bestimmung des Faktors \(a\)

Um nun die Faktoren \(a_{x}, a_{z}\) berechenbar zu machen, schaute ich mir ihre Abhängigkeit von den konstanten Längen \(l\). Beim Zeichnen des Graphen ist ein linearer Zusammenhang festzustellen.

Faktor \(a\) in Abhängigkeit von konstanter Länge \(l\)
\(a_{x}\) und \(a_{z}\) \(C_{x}\) und \(C_{z}\)
0,0822 0,18
0,1041 0,23
0,0600 0,135
0,0827 0,19
0,1328 0,30
0,1344 0,312
0,0486 0,11
0,0206 0,047
Folgende Funktion beschreibt den Zusammenhang: \[a=\gamma(l)=ml+c=0,4365l+0,001122\] Auffälligkeit: Die Steigung \(m=0,4365\) ähnelt sehr stark dem gemittelten Abstandswert \(\bar{y}=0,4303\) unter dem die real gemessene Länge \(l\) in der Potenzfunktion aufzufinden ist.

Längenänderung in Bewegungsrichtung

Versuchsaufbau: Objektverschiebung
Skizze des Versuchs zur Längenänderung in Bewegungsrichtung

Anschließend habe ich mich gefragt: Wenn die Änderung des Abstandes (d.h. Verschiebung entlang der y-Komponente) eine Längenänderung verursacht, dann muss auch eine Verschiebung entlang der x- und z-Komponenten eine Längenänderung verursachen, da sich auch in diesem Fall der Abstand verändert.

Dazu habe ich mir zwei Objekte genommen und sie - im mittleren Anfangsabstand \(r_{0}\approx0,85m\) von der Kamera zum Objekt - um \(\Delta{r}\approx{0,49m}\) auf den maximalen Abstand \(r_{max}=0,95m\) verschoben. Am PC habe ich die Längenunterschiede gemessen:

Längenänderung bei Verschiebung um ca. \(0,49m\)
Verschiebung Objekt 1 Objekt 2
vor 0,112 0,077
nach 0,103 0,067

Es ist tatsächlich so, dass eine ungleichmäßige Skalierung des ausgedehnten Objekts stattfindet:

  • Stauchung - findet bei Erhöhung des Abstandes, d.h. bei größerer Verschiebung in der Bildebene, statt.
  • Streckung - findet dagegen bei Annäherung des Objektes zum vorgegebenen minimalsten Abstand \(r_{0}\) und erreicht dort die maximale Streckung.

Je kleiner der Anfangsabstand \(r_{0}\), der nicht unterschritten wird, desto größer ist die Stauchung bzw. Streckung bei einer \(\Delta{r}\)-Verschiebung. Daraus folgt: Da jedes Objekt eine Ausdehnung hat, wird der weiter vom Betrachter entfernte Bereich des Objekts mehr gestaucht als der nähere Bereich (Ungleichmäßige Skalierung).

Auffälligkeit: Bei dem zweiten Objekt, welches in die Tiefe deutlich breiter ist, konnte ich messen, dass durch die Verschiebung ins Sichtfeld dazugekommene perspektivische Länge \(d\), der Länge der Stauchung gleicht: \(d = x - x'\). Annahme: Freigewordene Bereiche im Sichtfeld, die durch Stauchung von Flächen entstanden sind, werden durch Flächen neuer Sichtbereiche kompensiert.

Struktur und Augenpriorität

Augenpriorität und Struktur
Links: Struktur des visuellen Bildes. Rechts: Augenpriorität je nach Bildseite

Nach den obigen Untersuchungen der visuellen Wahrnehmung, sieht es so aus, dass alles, was sich aus dem unmittelbaren Zentrum des betrachteten 2D-Bilds an den Rand strebt, gestaucht wird. Bei Betrachtung mit nur einem Auge, welches nach Verschiebung des Objekts aus dem Zentrum - näher zum Objekt ist, ist die Stauchung wegen dem kleineren Abstand geringer.

Beim Selbstversuch konnte ich feststellen, dass bei binokularer Betrachtung, die Stauchung aus der Sicht des näheren Auges zum Objekt übernommen wird.Annahme: Je nach Seite des 2D-Bilds, bekommt das jeweilige Auge eine größere Wahrnehmungspriorität.

Dies ist nur eine grundlegende Untersuchung der visuellen Wahrnehmung und muss noch vertieft und präzisiert werden!